Mecânica de Hamilton

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Mecânica hamiltoniana é uma reformulação da mecânica clássica que foi elaborada em 1833 pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton. Originou-se da mecânica lagrangiana, outra reformulação da mecânica clássica, introduzida por Joseph Louis Lagrange em 1788. Ela pode entretanto ser formulada sem recorrer a mecânica lagrangiana, usando espaços simpléticos. Veja a seção sobre esta formulação matemática para isto. O método hamiltoniano difere do lagrangiano em que ao invés de expressar confinamentos diferenciais de segunda ordem sobre um espaço coordenado n-dimensional, ela expressa confinamentos de primeira ordem sobre um espaço de fases 2n-dimensional.[1].

Como com a mecânica lagrangiana, as equações de Hamilton fornecem uma maneira nova e equivalente de olhar mecanismos clássicos. Geralmente, estas equações não fornecem uma maneira mais conveniente de resolver um problema particular. Entretanto, fornecem introspecções mais profundas na estrutura geral de mecanismos clássicos e em sua conexão aos mecânicos quânticos como compreendidos através dos mecânicos hamiltonianos, assim como suas conexões a outras áreas da ciência.

Visão geral simplificada dos usos

Para um sistema fechado a soma da energia cinética e potencial no sistema é representado por um conjunto de equações diferenciais conhecido como as equações de Hamilton para este sistema. Hamiltonianos podem ser usados para descrever tais sistemas simples como uma bola quicando, um pêndulo ou uma mola oscilante na qual as mudanças de energia de cinética para potendial e vice versa alternam-se no tempo. Hamiltonianos podem também ser empregados para modelar a energia de outros sistemas dinâmicos mais complexos tais como órbitas planetárias e na mecânica quântica.

As equações de Hamilton são geralmente escritas como segue:

<math>\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}</math>

<math>\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}</math>

Nas equações acima, o ponto acentuando denota a derivada ordinária com respeito ao tempo das equações p = p(t) (chamada momento generalizado) e q = q(t) (chamado coordenadas generalizadas), tomando valores em algum espaço vetorial, e <math>\mathcal{H}</math> = <math>\mathcal{H}(p,q,t)</math> é o assim chamado Hamiltoniana, ou função ou (valoração escalar) Hamiltoniano. Então, num pequena nota mais explicitamente, pode-se escrever

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}(p(t),q(t),t)</math>

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}q(t) =~~\frac{\partial}{\partial p}\mathcal{H}(p(t),q(t),t)</math>

e especifica odomínio de valores nos quais o parâmetro t ("tempo") varia.

Para uma derivação mas detalhadas destas equações da mecânica lagrangeana, ver abaixo.

Interpretação física básica, mnemotécnica

A mais simples interpretação das equações de Hamilton é como segue, aplicando-as a um sistema unidimensional consistindo de uma partícula de massa m e exibindo conservação de energia:

O Hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math> representa a energia do sistema, a qual é a soma de energia cinética e potencial, tradicionalmente notado T & V, respectivamente. Aqui q é a coordenada x e p é o momento, mv. Então

<math>\mathcal{H} = T + V , \quad T = \frac{p^2}{2m} , \quad V = V(q) = V(x). </math>

Note que T é a função de p apenas, enquanto V é a função de somente de x (ou q).

Agora a derivada no tempo do momento p iguala-se a força Newtoniana, e então aqui a primeira equação de Hamilton significa que a força sobre a partícula iguala-se a taxa na qual ele perde energia potencial com relação a alterações em x, sua localização. (Força iguala-se ao gradiente negativo da energia potencial.)

A derivada no tempo de q significa a velocidade: a segunda equação de Hamilton aqui significa que a velocidade da partícula iguala-se a derivada de sua energia cinética com relação ao seu momento. (Para a derivada com relação a p de p²/2m iguala p/m = mv/m = v.)

Usando equações de Hamilton

1. Primeiro escreve-se o Lagrangiano L = T – V. Expressa-se T e V como se estave-se usando-se equação de Lagrange.
2. Calcula-se o momento por diferenciação do Lagrangiano com relação à velocidade.
3. Expressa-se as velocidades em termos do momento por inversão das expressões na etapa (2).
4. Calcula-se o Hamiltoniano usando a definição usual, <math>\mathcal{H} = \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L}</math>. Substitui-se pelas velocidades usando os resultados na etapa (3).
5. Aplica-se as equações de Hamilton.