Mecânica de Lagrange
A mecânica de Lagrange ou mecânica lagrangiana, nomeada em honra ao seu conceptor, Joseph-Louis Lagrange, é uma formulação da mecânica clássica que combina a conservação do momento linear com a conservação da energia. Exposta pela primeira vez no livro Méchanique Analytique em 1788, a formulação é provida de uma potente ferramental matemático e equivalente a qualquer outra formulação da mecânica, como, por exemplo, o formalismo newtoniano.
Na mecânica lagrangiana, a trajetória de um sistema de partículas é obtida resolvendo as equações de Lagrange em uma de suas duas formas, chamadas equações de Lagrange de primeira espécie,[1] que trata as restrições explicitamente como equações adicionais, geralmente utilizando os multiplicadores de Lagrange;[2][3]e as equações de Lagrange de segunda espécie, que incorporam as restrições diretamente na escolha das coordenadas generalizadas.[1][4] O lema fundamental do cálculo das variações mostra que resolver as equações de Lagrange é equivalente a encontrar o caminho que minimiza o funcional ação, uma quantidade que é a integral da função de Lagrange <math>L\,\!</math> no tempo.
Dado um conjunto de coordenadas generalizadas <math>q=\{q_i\}\,\!</math> para descrever o sistema físico estudado, a Lagrangiana de qualquer sistema o caracteriza de forma unívoca e pode apresentar as seguintes dependências funcionais <math>L=L(q_i , \dot{q_i}, t)\,\!</math>, em que <math>\dot{q_i} \equiv \frac{dq_i}{dt},\,\!</math> são as velocidades generalizadas.
Pelo Princípio de Hamilton [5], que nos diz que o trajeto real da partícula [6], entre os instantes <math>t_i\,\!</math> e <math>t_f\,\!</math> é aquele que minimiza a ação <math>S \equiv \int_{t_i}^{t_f} L(q_i , \dot{q_i}, t)\,\!</math> . Fixados os extremos da trajetória no espaço de configuração. Encontramos [7] as equações de Euler-Lagrange
<math> \frac{ \partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) = 0,\,\!</math>
que são equações diferenciais parciais de segunda ordem em <math>t\,\!</math>.
No caso de um sistema não-conservativo (ou dissipativo), temos
<math>\frac{ \partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) = -Q_i^{ext}\,\!</math>
em que <math>Q_i^{ext}=\sum_j^N \vec{F}_j^{ext} \cdot \frac{ \partial \vec{r}_j}{ \partial q_i}</math> são as forças generalizadas externas.
A Mecânica Lagrangeana é baseada num formalismo escalar mais simples e geral, quando comparado ao formalismo vetorial de Newton. Com isso é capaz de descrever igualmente bem fenômenos a baixas velocidades ou a velocidades relativísticas. O único aspecto que difere entre cada caso é a Função de Lagrange.
Uma escolha para as coordenadas generalizadas
Em um sistema clássico, por exemplo, temos que <math>q_i=r\,\!</math> (aqui estamos assumindo que as coordenadas generalizadas são os módulos dos vetores posição de cada partícula que compõem o sistema) e a Função de Lagrange define-se como
<math>L(r, \dot{r} , t) = T(r,\dot{r},t) - U(r)\,\!</math>
Em que <math>T=\frac{1}{2}m\dot{r}^2\,\!</math> é a Energia Cinética e <math>U\,\!</math> é a Energia Potencial de Interação.
Quanto às equações de Euler-Lagrange, temos
<math>\frac{ \partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) = \frac{ \partial L}{\partial r} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{r}} \right)=0.\,\!</math>
Aplicação ``clássica´´
A Mecânica de Lagrange tem a vantagem de resolver elegantemente problemas complexos, sendo um bom exemplo do grau de abstração embutido no formalismo de Lagrange a simplicidade com que podemos deduzir as Leis de Conservação a partir das simetrias do espaço-tempo. Deixa-se, aqui, a título de exemplo, a dedução da Conservação do Momento Linear:
- Conservação do Momento Linear
Sendo o espaço homogêneo[8], tem-se que <math>\frac{\partial L}{\partial r} = 0\,\!</math>. Num sistema isolado (conservativo), pelas equações de Euler-Lagrange, temos <math> \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{r}} \right) =0 \,\!</math>. Definindo <math>p= \frac{ \partial L}{ \partial \dot{r}}\,\!</math> [9], chegamos a <math>\frac{dp}{dt}=0.\,\!</math>
Referências
- ↑ 1,0 1,1 R. Dvorak, Florian Freistetter. Chaos and stability in planetary systems. [S.l.]: Birkhäuser, 2005. p. 24. ISBN 3540282084
- ↑ H. Haken. Information and self-organization. 3ª ed. [S.l.]: Springer, 2006. p. 61. ISBN 3540330216
- ↑ Cornelius Lanczos. The variational principles of mechanics. Reprint of University of Toronto 1970 4th ed. [S.l.]: Courier Dover, 1986. Capítulo: II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method, p. 43. ISBN 0486650677
- ↑ Henry Zatzkis. In: DH Menzel. Fundamental formulas of physics. 2ª ed. [S.l.]: Courier Dover, 1960. Capítulo: §1.4 Lagrange equations of the second kind, p. 160. vol. 1. ISBN 0486605957
- ↑ Também conhecido como princípio da mínima ação.
- ↑ Se este for o nosso objeto de estudo.
- ↑ Para sistemas conservativos.
- ↑ Ou seja, havendo invariância sob translação espacial no fenômeno estudado.
- ↑ De fato, na mecânica clássica teremos <math>\frac{ \partial L}{ \partial \dot{r}} = \frac{d}{d \dot{r} } \left( \frac{1}{2} m \dot{r}^2 \right) = m \dot{r} = mv\,\!</math>, se somente <math>U\,\!</math> não for função das velocidades generalizadas.
Bibliografia
- MAIA, NUNO M: Introdução à Mecânica Analítica, IST Press
- GOLDSTEIN: Classical Mechanics, Addison-Wesley
- LEMOS, NIVALDO A.: Mecânica Analítica, Livraria da Física, 2ª ed.
