Gradiente
Nota: Se procura Gradiente, a empresa e marca, veja Gradiente (empresa).No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção de maior alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço. Possui diversas aplicações, desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas.
Por exemplo, o gradiente do potencial eléctrico é o oposto do campo eléctrico. O gradiente da energia de campo é o oposto da força de campo.
Definição
O vector gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar <math>f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math> é dado por:
- <math>\mbox{grad} \, f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right\rangle</math>
Em notação de soma de Euler temos que:
- <math>\mbox{grad} \, f = \sum^i \frac{\partial f}{\partial x_i} \hat e_i</math>
Já na notação de soma de Einstein para o campo escalar φ:
- <math>\mbox{grad} \, \varphi = \partial_i \varphi \cdot \hat e_i</math>
O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:
- <math>\nabla \overrightarrow f (x_1, \dots, x_n) = \mbox{grad} \, f</math>
No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:
- <math>\nabla f = \mbox{grad} \, f =D_f</math>
O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.
Exemplo
Para a função <math>f \!\left( x, y, z \right) = 4x + 10y^2 - \sin z</math> temos <math>\nabla f = \left\langle 4, 20y, - \cos z \right\rangle</math> para todo <math>\left( x, y, z \right)</math>.
Expressões
Para todo campo escalar <math>f</math> diferenciável em função do espaço cartesiano <math>\vec x = \left\langle x, y, z \right\rangle</math> temos que:
- <math>\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle</math>
O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:
- <math>\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \vec x}</math>
Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:
- <math>\nabla f = \frac{df}{dx}</math>
Propriedades
Linearidade
O gradiente é linear:
- <math>\nabla \left( \alpha f + \beta g \right) = \alpha \nabla f + \beta \nabla g \qquad \left( \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}^2 \right)</math>
Onde <math>\mathbb{F}</math> é um corpo constante.
Lei de Leibniz
O gradiente segue as Lei de Leibniz na multiplicação:
- <math>\nabla \left( f \cdot g \right) = f \nabla g + g \nabla f</math>
E na divisão:
- <math>\nabla \left( f / g \right) = \frac{g \nabla f - f \nabla g}{g^2} \qquad \left( g \neq 0 \right)</math>
Ortogonalidade às curvas de nível
O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja <math>f(x\,, y)</math> uma função definida em <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> e diferenciável em todo seu domínio.
Seja o conjunto <math>C: \{(x,y)\in D | f(x,y)=k \}</math> onde x e y são funções de um parâmetro t tal que <math>x(0)=x_{0}\,, y(0)=y_{0}</math>.
Então, temos:
<math>f(x(t)\,, y(t))=k</math> (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)
<math>\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=0</math>
A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em <math>(x_{0}\,, y_{0})</math>, logo os dois são perpendiculares entre si.
Teorema do gradiente
O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:
- <math> \Delta f = f_Q - f_P = \int^{\gamma_Q}_{\gamma_P} \nabla f \cdot \vec{d\gamma}</math>
Derivada direcional
A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo, <math>\hat u</math>).
- <math>\forall \hat u \quad D\!_{\hat u}\,f = \hat u \cdot \nabla f</math>
Sistemas de coordenadas
O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:
Coordenadas cartesianas
- <math>\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat e_x + \frac{\partial f}{\partial y} \hat e_y + \frac{\partial f}{\partial z} \hat e_z</math>
Para coordenadas espaciais x, y e z.
Coordenadas cilíndricas circulares
- <math>\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial \rho} \hat e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat e_\phi + \frac{\partial f}{\partial z} \hat e_z</math>
Onde <math>\rho </math> representa a distância ao eixo z, <math> \phi </math> é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.
Coordenadas esféricas
- <math>\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat e_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \hat e_\theta + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat e_\phi</math>
Onde <math> r </math> representa a distância à origem, <math> \theta </math> é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e <math> \phi </math> é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.
Noção intuitiva de gradiente
O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento[1].
Gradientes de tensão
Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.
O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.
Referências
- ↑ {{#invoke:Citar web|web}}
Fontes externas
- Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).
