Impedância elétrica

Eletromagnetismo
Representação do vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética circularmente polarizada.
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História História da Física
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Físicos James Clerk Maxwell Heinrich Hertz Alessandro Volta Michael Faraday Charles de Coulomb Hans Christian Ørsted Nikola Tesla André-Marie Ampère Carl Friedrich Gauss Hendrik Lorentz

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Impedância elétrica ou simplesmente impedância (quando, em domínio de circuitos ou sistemas elétricos, e Engenharia Elétrica, não houver possibilidade de confusão com outras possíveis acepções de impedância), é a oposição que um circuito elétrico faz à passagem de corrente quando é submetido a uma tensão. Pode ser definida como a relação entre o valor eficaz da diferença de potencial entre dois pontos de circuito em consideração, e o valor eficaz da corrente elétrica resultante no circuito.

Introdução

De uma maneira mais simples impedância é a carga resistiva total de um circuito CA (Corrente alternada), ou seja quando um determinado componente cria uma resistência e gasta energia em forma de calor, tem se o Efeito Joule, isso chamamos de resistência, e se o componente não gasta energia em forma de calor temos a reatância, então quando estão presentes a resistência e reatância chamamos de impedância.
A impedância não é um fasor, mas é expressa como um número complexo, possuindo uma parte real, equivalente a resistência R, e uma parte imaginária, dada pela reatância X. A impedância também é expressa em ohms, e designada pelo símbolo Z. Indica a oposição total que um circuito oferece ao fluxo de uma corrente elétrica variável no tempo.

Formulação Matemática

As equações dos circuitos com capacitores e indutores são sempre equações diferenciais. No entanto, como essas equações são lineares, as suas transformadas de Laplace serão sempre equações algébricas em função de um parâmetro <math>s</math> com unidades de frequência.

Será muito mais fácil encontrar a equação do circuito em função do parâmetro <math>s</math> e a seguir podemos calcular a transformada de Laplace inversa se quisermos saber como é a equação diferencial em função do tempo <math>t</math>. A equação do circuito, no domínio da frequência <math>s</math>, é obtida calculando as transformadas de Laplace da tensão em cada um dos elementos do circuito.

Se admitirmos que o circuito encontra-se inicialmente num estado de equilíbrio estável e que o sinal de entrada só aparece em <math>t=0</math>, temos que:

<math>

 \lim_{t\rightarrow 0^{-}} V(t) =  \lim_{t\rightarrow 0^{-}} V_e(t) = 0

</math>

Assim, as transformadas de Laplace de <math>V_e'</math> e <math>V'</math> são <math>s\,\tilde{V}_e(s)</math> e <math>s\,\tilde{V}(s)</math>, onde <math>\tilde{V}_e</math> e <math>\tilde{V}</math> são as transformadas dos sinais de entrada e saída.

Como as derivadas dos sinais também são inicialmente nulas, as transformadas de <math>V_e</math> e <math>V</math> são <math>s^2\,\tilde{V}_e(s)</math> e <math>s^2\,\tilde{V}(s)</math>.

Numa resistência a lei de Ohm define a relação entre os sinais da tensão e da corrente:

<math>

 V(t) = R\,I(t)

</math>

aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação obtemos:

<math>

 \tilde{V} = R\,\tilde{I}

</math>

Num indutor, a relação entre a tensão e a corrente é:

<math> V(t) = L\,\dfrac{dI(t)}{dt} </math>

Como estamos a admitir que em <math>t<0</math> a tensão e a corrente são nulas, usando a propriedade da transformada de Laplace da derivada obtemos a equação:

<math>

 \tilde{V} =  L\,s\,\tilde{I}

</math>

que é semelhante à lei de Ohm para as resistências, excepto que em vez de <math>R</math> temos uma função <math>Z(s)</math> que depende da frequência:

<math>

 Z(s) = L\,s

</math>

Num capacitor, a diferença de potencial é diretamente proporcional à carga acumulada:

<math>

 V(t) = \frac{Q(t)}{C}

</math>

Como estamos a admitir que em <math>t<0</math> não existem cargas nem correntes, então a carga acumulada no instante <math>t</math> será igual ao integral da corrente, desde <math>t=0</math> até o instante t:

<math> V(t) = \frac{1}{C}\int^{t}_{0}I(u)du </math>

e usando a propriedade da transformada de Laplace do integral, obtemos:

<math>

 \tilde{V} =  \frac{\tilde{I}}{s\,C}

</math>

Mais uma vez, obtivemos uma relação semelhante à lei de Ohm, mas em vez do valor da resistência <math>R</math> temos uma função que depende da frequência:

<math>

 Z(s) = \frac{1}{s\,C}

</math>

Resumindo, no domínio da frequência, as resistências, indutores e condensadores verificam todos uma lei de Ohm generalizada:

<math> \tilde{V}(s) = Z(s)\,\tilde{I}(s) </math>

Onde a função <math>Z(s)</math> denomina-se impedância generalizada e é dada pela seguinte expressão:

<math>

 Z = \left\{
   \begin{array}{ll}
     R    & \text{, nas resistências}\\
     L\,s & \text{, nos indutores}\\
     \dfrac{1}{C\,s} & \text{, nos capacitores}
   \end{array}
   \right.

</math>

É de salientar que os indutores produzem uma maior impedância para sinais com frequências <math>s</math> maiores, os condensadores apresentam maior impedância quando o sinal tiver menor frequência e nas resistências a impedância é constante, independentemente da frequência.

Associações de impedâncias

Associação de impedâncias em série e sistema equivalente.

Duas resistências em série são equivalentes a uma única resistência com valor igual à soma das resistências. Nessa demonstração o fato de que além da corrente nas duas resistências em série dever ser igual, a diferença de potencial total é igual à soma das diferenças de potencial em cada resistência e em cada resistência verifica-se a lei de Ohm.

Os mesmos 3 fatos são válidos no caso de dois dispositivos em série (resistências, indutores ou condensadores) onde se verifique a lei de Ohm generalizada.

Assim, podemos generalizar as mesmas regras de combinação de resistências em série, ao caso de condensadores e indutores, como ilustra a figura ao lado. Nomeadamente, quando dois dispositivos são ligados em série, o sistema pode ser substituído por um único dispositivo com impedância igual à soma das impedâncias dos dois dispositivos:

<math>Z\text{série} = Z_1 + Z_2</math>

Associação de impedâncias em paralelo e sistema equivalente.

Se os dois dispositivos estiverem ligados em paralelo, como no caso da figura ao lado, em qualquer instante a diferença de potencial será a mesma nos dois dispositivos e a corrente total no sistema será a soma das correntes nos dois dispositivos. Isso, junto com a lei de Ohm generalizada , permite-nos concluir que o sistema pode ser substituído por um único dispositivo com impedância:

<math>Z\text{paralelo} = Z_1\parallel Z_2 = \frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}</math>

Referências

• EDMINISTER, J. A.. Circuitos Elétricos. Teoria e Problemas Resolvidos. São Paulo (SP, Brasil): McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1974.
• HAYT & KEMMERLY. Análise de Circuitos em Engenharia. São Paulo (SP, Brasil): McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1990.