Fasor

Um exemplo de circuito RLC em série e diagrama de fasor respectivos para um específico ω ω

Em física e engenharia, um vetor de fase ou fasor, é uma representação de uma função senoidal cuja amplitude (A), freqüência (ω) e fase (θ) é tempo-invariante. É um subconjunto de um conceito mais geral chamado representação analítica. Fasores separam as dependências em A, ω e θ em três fatores independentes. Isto pode ser particularmente útil, porque o fator de freqüência (que inclui a dependência do tempo da senóide) muitas vezes é comum a todos os componentes de uma combinação linear dos sinusóides. Nessas situações, fasores permitem esse recurso comum ser fatorado para fora, deixando apenas as características A e θ. O resultado é que reduz a trigonometria à álgebra e equações diferenciais se tornam queridos algébricos. O fasor de termo, portanto, muitas vezes se refere a apenas esses dois fatores. Em textos antigos, um fasor é também referido como um sinor.

Trata-se da utilização de um vetor bidimensional para representar uma onda em movimento harmónico simples. Devido ao modelo matemático de uma onda em movimento harmónico simples

<math>x(t) = A \cos (\omega t + \alpha)\,</math>

é possível identificar-se uma relação entre esse modelo e a projecção no eixo das abcissas do seguinte vector

<math>\vec x(t) = A(\cos(\omega t + \alpha) \vec i + \sin(\omega t + \alpha) \vec j)\,</math>

Ou seja, é possível representar uma onda de amplitude máxima <math>A\,</math> e ângulo de fase <math>(\omega t + \alpha)\,</math> através de um vector de magnitude <math>A\,</math> e que prefaz o ângulo <math>(\omega t + \alpha)\,</math> com o eixo das abcissas, no sentido directo.

Definição

A fórmula de Euler indica que sinusóides podem ser representados matematicamente como a soma de duas funções de valores complexos:

<math>A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A \cdot \frac{e^{i(\omega t + \theta)} + e^{-i(\omega t + \theta)}}{2},</math>    

ou como a parte real de uma das funções:

<math>

\begin{align} A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= \operatorname{Re} \left\{ A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}\right\} \\ &= \operatorname{Re} \left\{ A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\right\}. \end{align} </math> Como indicado acima, os ' fasores ' podem referir-se a  <math>A e^{i\theta} e^{i\omega t}\,</math> ou apenas ao complexo constante,  <math>A e^{i\theta}\,</math>  . Neste último caso, entende-se ser uma notação abreviada, a amplitude e a fase de uma senóide subjacente de codificação.

Um atalho ainda mais compacto é a notação de ângulo:  <math>A \angle \theta.\,</math>

Um fasor pode ser visto como um vetor de rotação sobre a origem em um plano complexo. A função cosseno é a projeção do vetor no eixo real. Sua amplitude é o módulo do vetor e seu argumento é a fase de total <math>\omega t+\theta</math>. Aconstante de fase <math>\theta</math> representa o ângulo que o vetor forma com o eixo real em  t = 0.

Aritmética de fasor

Multiplicação por uma constante (escalar)

Multiplicação do fasor  <math>A e^{i\theta} e^{i\omega t}\,</math> por uma constante complexa,  <math>B e^{i\phi}\,</math> , produz outro fasor. Isso significa que seu único efeito é alterar a amplitude e a fase da senóide subjacente:

<math>

\begin{align} \operatorname{Re}\{(A e^{i\theta} \cdot B e^{i\phi})\cdot e^{i\omega t} \} &= \operatorname{Re}\{(AB e^{i(\theta+\phi)})\cdot e^{i\omega t} \} \\ &= AB \cos(\omega t +(\theta+\phi)) \end{align} </math>

Em eletrônica,<math>B e^{i\phi}\,</math>  representaria uma impedância, que é independente do tempo. Em particular não é a notação abreviada para outro fasor. Multiplicando um fasor corrente por uma impedância produz uma tensão de fasor. Mas o produto de dois fasores (ou quadratura de um fasor) representaria o produto de duas sinusóides, que é uma operação não-linear que produz novos componentes de freqüência. Notação de fasor só pode representar sistemas com uma freqüência, como um sistema linear estimulada por uma senóide.

Diferenciação e integração

A derivada do tempo ou integral de um fasor produz outro fasor. Por exemplo:

<math>

\begin{align} \operatorname{Re}\left\{\frac{d}{dt}(A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t})\right\} &= \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot i\omega e^{i\omega t}\} \\[8pt] &= \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot e^{i\pi/2} \omega e^{i\omega t}\} \\[8pt] &= \operatorname{Re}\{\omega A e^{i(\theta + \pi/2)} \cdot e^{i\omega t}\} \\[8pt] &= \omega A\cdot \cos(\omega t + \theta + \pi/2) \end{align} </math> Portanto, na representação de fasor, a derivada do tempo de uma senóide fica apenas multiplicada pela constante,<math>i \omega = (e^{i\pi/2} \cdot \omega).\,</math> Da mesma forma, integrar um fasor corresponde à multiplicação por <math>\frac{1}{i\omega} = \frac{e^{-i\pi/2}}{\omega}.\,</math>  O fator tempo-dependente, <math>e^{i\omega t}\,</math>, não é afetado. Quando resolvemos uma equação diferencial linear com aritmética de fasor, nós estamos meramente fatorando  <math>e^{i\omega t}\,</math>  fora de todos os termos da equação e voltando a colocar na resposta. Por exemplo, considere a seguinte equação diferencial para a tensão através do capacitor num circuito RC:

<math>\frac{d\ v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)</math>

Quando a fonte de tensão nesse circuito é sinusoidal:

<math>v_S(t) = V_P\cdot \cos(\omega t + \theta),\,</math>

devemos substiruir:

<math>

\begin{align} v_S(t) &= \operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\} \\ \end{align} </math>

<math>v_C(t) = \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\},</math>

onde o fasor  <math>V_s = V_P e^{i\theta},\,</math>  e o fasor <math>V_c\,</math> é a quantidade desconhecida a determinar.

Na notação abreviada do fasor, a equação diferencial se reduz a

<math>i \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s</math>

Resolvendo para o fasor tensão capacitor dá:

<math>

V_c = \frac{1}{1 + i \omega RC} \cdot (V_s) = \frac{1-i\omega R C}{1+(\omega R C)^2} \cdot (V_P e^{i\theta})\, </math>

Como vimos, o fator de multiplicação<math>V_s\,</math>  representa as diferenças de amplitude e fase de<math>v_C(t)\,</math>  relativo à <math>V_P\,</math>  e <math>\theta.\,</math>

Na forma de coordenadas polares, é:

<math>\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-i \phi(\omega)},\text{ where }\phi(\omega) = \arctan(\omega RC).\,</math>

Portanto:

<math>v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \theta- \phi(\omega))</math>

Adição

A soma de fasores como adição de vetores de giro

A soma de vários fasores produz outro fasor. Isso é porque a soma de sinusóides, com a mesma frequência é também uma senóide com a freqüência:

<math>

\begin{align} A_1 \cos(\omega t + \theta_1) + A_2 \cos(\omega t + \theta_2) &= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t}\} + \operatorname{Re} \{A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt] &= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t} + A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt] &= \operatorname{Re} \{(A_1 e^{i\theta_1} + A_2 e^{i\theta_2})e^{i\omega t}\} \\[8pt] &= \operatorname{Re} \{(A_3 e^{i\theta_3})e^{i\omega t}\} \\[8pt] &= A_3 \cos(\omega t + \theta_3), \end{align} </math>

onde:

<math>

A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2, </math>

<math>

\theta_3 = \arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right) </math>

ou,através da lei dos cossenos no plano complexo (ou a identidade trigonométrica para diferenças de ângulo):

<math>

A_3^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2 \cos(180^\circ - \Delta\theta),

     = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\theta),

</math>

onde <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2</math>.

Um ponto chave é que A3 e θ3 não dependem ω ou t, que é o que possibilita a notação de fasor. A dependência de tempo e frequência pode ser suprimida e re-inserida para o resultado, enquanto as operações apenas usadas no meio são aqueles que produzem outro fasor. Na notação de ângulo, a operação mostrada acima está escrita:

<math>A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3. \, </math>

Outra maneira de ver a adição é que dois vectores com coordenadas [A1 cos(ωt + θ1), A1 sin (ωt + θ1)] e [A2 cos(ωt + θ2), A2 sin (ωt + θ2)] são adicionados vetroialmente para produzir um vetor resultante com coordenadas [A3 cos(ωt + θ3), A3 sin (ωt + θ3)]. (ver animação)

Diagrama de fasor de três ondas em interferência destrutiva perfeita

Em física, este tipo de adição ocorre quando sinusóides interferem uns com os outros, de forma construtiva ou destrutiva. O conceito de vetor estático fornece percepções úteis sobre perguntas como esta: "que diferença de fase seria necessária entre três sinusóides idênticos para cancelamento perfeito?" Neste caso, basta imaginarmos três vetores de igual comprimento e colocando-os cabeça à cauda, de tal modo que a última cabeça combina com a cauda do primeiro. Claramente, a forma que satisfaz essas condições é um triângulo equilátero, então o ângulo entre cada fasor para o próximo é de 120 ° (2 π/3 radianos), ou um terço de um comprimento de onda λ/3. Assim a diferença de fase entre cada onda deve também ser 120 °, como é o caso de corrente trifásica. Em outras palavras, o que isto mostra é:

<math>\cos(\omega t) + \cos(\omega t + 2\pi/3) + \cos(\omega t +4\pi/3) = 0.\,</math>

No exemplo de três ondas, a diferença de fase entre a primeira e a última onda foi 240 graus, enquanto para duas ondas destrutivas a interferência acontece a 180 graus. No limite de muitas ondas, os fasores devem formar um círculo para a interferências destrutivas, para que o primeiro fasor seja quase paralelo com o último. Isso significa que, para muitas fontes, destrutivas interferências acontecem quando a primeira e a última onda diferem por 360 graus, um comprimento de onda completo. Isto é porque em único fenda difração, mínimos ocorrem quando a luz da borda distante viaja um comprimento de onda completo a mais que a luz vinda da fenda mais próxima.

Diagramas de fasor

Engenheiros elétricos, engenheiros eletrônicos, técnicos de engenharia eletrônica e engenheiros de aeronave usam diagramas de fasor para visualizar constantes e variáveis complexas (fasores). Como vetores, setas desenhadas em papel milimetrado ou monitores de computador representam fasores. Representações cartesianas e polares têm vantagens.

Aplicações

Os fasores tem uma larga aplicação prática pois oferecem várias vantagens na manipulação e cálculo de ondas. Eis algumas vantagens:

Sobreposição de ondas

Graças à natureza vectorial dos fasores, o cálculo do efeito da sobreposição de ondas reduz-se a uma soma vectorial.

Derivação e determinação da velocidade e aceleração

Devido à natureza do modelo matemático da onda em movimento harmónico simples, das operações de derivação e das propriedades trigonométricas, a determinação da velocidade e aceleração duma partícula em movimento harmónico simples torna-se trivial. Derivando a expressão de <math>x(t)</math> obtêm-se as seguintes expressões para a velocidade e aceleração:

<math>v(t) = \dot{x}(t) = - A \omega \sin (\omega t + \alpha)\,</math>

<math>a(t) = \ddot{x}(t) = - A \omega^2 \cos (\omega t + \alpha)\,</math>

A partir das relações trigonométricas deduz-se que a velocidade e a aceleração podem ser representados como vectores que prefazem um ângulo de <math>\pi /2\,</math> e <math>\pi\,</math> com o fasor posição e que possuem as magnitudes <math>-A\omega\,</math> e <math>-A \omega^2\,</math> respectivamente.

Circuitos elétricos em corrente alternada

Para circuitos elétricos sinusoidais em regime permanente, é possível a utilização do método fasorial para o estudo, evitando uma resolução com equações diferenciais. Os elementos elétricos (resistências, indutâncias e capacitâncias) serão representados por impedâncias, todos em uma mesma unidade (ohm).

Um fasor funciona como um vetor, onde o módulo é a intensidade da grandeza medida (tensão ou corrente) e o ângulo (com relação à horizontal) mede a defasagem da grandeza corrente elétrica em relação a Tensão Elétrica em um componente.

Referências

• {{#invoke:Citação/CS1|citation

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Links externos

• Phasor Phactory
• Representação visual de fasores
• Notação polar e retangular