Equação de difusão
A equação da difusão é uma equação em derivadas parciais que descreve flutuações de densidade em um material que se difunde. É também usada para descrever processos exibindo um comportamento de difusão.
Equação
A equação é geralmente escrita como:
- <math>\frac{\partial\phi}{\partial t}=\nabla\cdot (D(\phi,\vec{r})\nabla\phi(\vec{r},t))</math>
onde <math>\phi</math> é a densidade do material que difunde, <math>t</math> é o tempo, e <math>D</math> é o coeficiente de difusão coletivo, <math>\vec{r}</math> é a coordenada espacial e o símbolo nabla (∇) representa o vetor operador diferencial del. Se o coeficiente de difusão depende da densidade, então a equação não é linear; de outra maneira seria linear. Se D é constante, então a equação se reduz à seguinte equação linear:
- <math>\frac{\partial\phi}{\partial t}=D\nabla^2\phi(\vec{r},t)</math>,
Mais geralmente, quando D é uma matriz simétrico definida positiva, a equação descreve uma difusão anisótrica.
Derivação
A equação de difusão pode ser deduzida a partir da equação de continuidade. A mesma expressa que uma alteração na densidade em um sistema é devido a um fluxo em entrada ou a um fluxo em saída de material do sistema. Ou seja, não pode haver nem criação nem destruição de matéria.
- <math>\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0</math>
onde <math>\vec{j}</math> é o fluxo de material que difunde. A equação de difusão pode ser obtida facilmente desta relação quando é combinada com a Lei de Fick, que assume que o fluxo do material que difunde em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente local de densidade:
- <math>\vec{j}=-D(\phi)\nabla\phi(\vec{r},t)</math>.
