Velocidade angular
[[Categoria:!Artigos que carecem de fontes desde Erro de expressão: Operador < inesperado]]
,_title,_p._5,_color.jpg)
A velocidade angular de uma partícula ou de um corpo rígido descreve a taxa com que a sua orientação muda. Ela é análoga à velocidade translatorial, e é definida nos termos da derivação da orientação com respeito ao tempo, assim como a velocidade translatorial é a derivação da posição em função do tempo. Costuma-se introduzir o conceito de velocidade se definindo primeiramente a velocidade média como sendo o deslocamento dividido pelo tempo. Neste ponto a analogia com a velocidade angular não é de grande utilidade pois, por exemplo, caso um corpo esteja rodando a uma velocidade angular constante de uma revolução por minuto, ao fim de um período de um minuto a 'velocidade angular média' do corpo seria de zero, pois a orientação é exatemente a mesma que a do início do período de tempo ao final de uma rotação.
Mais precisamente, se <math>A(t)</math> é a transformação ortogonal linear especial que descreve a orientação, a velocidade angular é definida como <math>A(t)^{-1}{d\over dt}A(t)</math>. Disso segue que a velocidade angular é uma transformançao skew-adjoint linear. É útil restringir a atenção a duas ou três dimensões e representar a álgebra de Lie tridimensional das tranformações lineares skew-adjoint para V<math>{}_3</math>(R) por R³. O comutador, que é o produto da álgebra de Lie, é representado pelo produto vetorial em R³. O resto deste artigo possui sua discussão utilizando este estilo.
Vector Velocidade Angular
A velocidade angular média é um vetor com uma quantidade física que representa o processo de rotação (mudança de orientação) que ocorre em um instante de tempo. Para um corpo rígido se suplementa a velocidade translatorial do centro de massa para se descrever seu movimento completo. Ela é comumente representada pelo símbolo ômega (Ω ou ω). A magnitude da velocidade angular é a frequência angular, representada por ω. A linha de direção da velocidade angular é dada pelo eixo de rotação, e a regra da mão direita indica a direção positiva, da seguinte forma:
- Se você enrolar os dedos de sua mão direita seguindo a direção da rotação, então a direção da velocidade angular é indicada pelo seu polegar direito.
Nas unidades do SI, a velocidade angular é medida em radianos por segundo (rad/s), apesar de uma direção ter que ser especificada. As dimensões da velocidade angular são T -1, pois os radianos são adimensionais.
Para qualquer partícula de um corpo em movimento ou rotação temos:
- <math> \mathbf{v} = \mathbf{v}_t + \boldsymbol\omega \times (\mathbf{r} - \mathbf{r}_c) </math>
onde
- <math>\mathbf{v}</math> é a velocidade total da partícula
- <math>\mathbf{v}_t</math> é a velocidade translacional
- <math> \mathbf{r} </math> é a posição da partícula
- <math> \mathbf{r}_c </math> é a posição do centro do corpo.
Para descrever o movimento, o "centro" pode ser qualquer partícula ou ponto imaginário do corpo que esteja rigidamente conectado ao mesmo (o vetor de translação depende desta escolha), porém tipicamente o centro de massa é utilizado, pois esta escolha simplifica algumas fórmulas.
Quanto o produto vetorial é escrito sobre a forma de uma matriz, nós temos um matriz anti-simétrica com zeros na diagonal principal e componentes positivos e negativos da velocidade angular como os outros elementos.
Com uma aceleração angular constante, a velocidade angular obedece às equações de movimento rotacional, equivalentes às equações de movimento sobre uma aceleração linear constante.
A frequência angular é também utilizada no lugar da frequência comum em situações que não envolvem rotação, especialmente na eletrônica, pois elas geram senóides e varias equações que são obtidas através de cálculos em senóides simples. (ωt ao invés de 2πft).
O caso do movimento não-circular
Se o movimento da partícula é descrito por uma função com um valor-vetor de posição r(t), com respeito a uma origem fixa, então o vetor velocidade angular é dado por:
- <math> \boldsymbol\omega = {\mathbf{r} \times \mathbf{v} \over |\mathbf{r}|^2} \qquad \qquad (1) </math>
onde :<math> \mathbf{v}(t) = \mathbf{r'}(t) </math> é o vetor velocidade linear.
A equação (1) é aplicável a movimentos não-circulares, tais como órbitas elípticas.
Derivação
O vetor v pode ser representado com um par de componentes: <math> \mathbf{v}_\perp </math> que é perpendicular a r, e <math> \mathbf{v}_\| </math> que é paralelo a r. O movimento do componente paralelo é completamente linear e não produz nenhuma rotação da partícula (com relação à origem), então para o propósito de encontrar a velocidade angular este pode ser ignorado. I movimento da componente perpendicular é completamente circular, pois este é perpendicular ao vetor radial, como qualquer tangente em um ponto de um círculo.
A componente perpendicular possui a magnitude
- <math> |\mathbf{v}_\perp| = {|\mathbf{r} \times \mathbf{v}| \over |\mathbf{r}|} \qquad \qquad (2)</math>
aonde o vetor <math> \mathbf{r} \times \mathbf{v} </math> representa a área do palalerogramo cujos dois dos lados são os vetores r e v. Dividindo esta área pela magnitude de r temos a altura deste paralelogramo entre r e o lado do paralelogramo paralelo a r. Esta altura é igual componente v, que é perpendicular a r.
No caso de um movimento puramente circular, a velocidade angular é igual à velocidade linear dividida pelo raio. No caso de um movimento generalizado, a velocidade linear é substituída pela componente perpendicular a r, temos.
- <math> \omega = {|\mathbf{v}_\perp| \over |\mathbf{r}|} \qquad \qquad (3)</math>
portanto, comocando as equações (2) e (3) juntas chegamos a
- <math> \omega = {|\mathbf{r} \times \mathbf{v}| \over |\mathbf{r}|^2} = |\boldsymbol\omega|. \qquad \qquad (4)</math>
A equação (4) nos dá a magnitude do vetor velocidade angular. A direção deste vetor é dada por sua versão normalizada:
- <math> \hat\boldsymbol\omega = {\mathbf{r} \times \mathbf{v} \over |\mathbf{r} \times \mathbf{v}|}. \qquad \qquad (5)</math>
Então o vetor velocidade angular completo é dado quando juntamos sua magnitude e sua direção:
- <math> \boldsymbol\omega = \omega \hat\boldsymbol\omega </math>
que, devido às equações (4) e (5), é igual a
- <math> \boldsymbol\omega = {\mathbf{r} \times \mathbf{v} \over |\mathbf{r}|^2}, </math>
que foi demonstrada anteriormente.
Ver também
- (Introdutório)
- (Avançado)
Ligações externas
- Rotations and Angular Momentum on the Classical Mechanics page of the website of John Baez, especially Questions 1 and 2.
- Peter M. Neumann; Gabrielle A. Stoy; Edward C. Thompson. Groups and Geometry, Oxford 1994, ISBN 01798534515. See pp. 108-110, 163-165 .