Quantização (física)

Em física, uma quantização é um procedimento matemático para construir um modelo quântico para um sistema físico a partir de sua descrição clássica.

Definição formal

Concretamente dada a descrição hamiltoniana de um sistema clássico mediante uma variedade simplética <math>(\mathcal{M},\omega)</math> pode ser definida formalmente o processo de quantização como a construção de um espaço de Hilbert <math>\mathcal{H}</math> tal que ao conjunto de magnitudes físicas ou observáveis medíveis no sistema clássico <math>f_i\,</math> se assinala um conjunto de observáveis quânticos ou operadores auto-adjuntos <math>\hat{f}_i</math> tais que:

1. <math>(f_i+f_j)\hat{} = \hat{f}_j + \hat{f}_j</math>
2. <math>(\lambda f_i)\hat{} = \lambda \hat{f}_j \qquad \lambda \in \R</math>
3. <math>\{ f_i, f_j \} \hat{} = -i [\hat{f}_i,\hat{f}_j]</math>
4. <math>\hat{1} = I_\mathcal{H}</math>
5. Os operadores de posição <math>\hat{q}_i</math> e seus momentos conjugados <math>\hat{p}_i</math> atuam irreduzivelmente sobre <math>\mathcal{H}</math>.

Onde <math>I_\mathcal{H}</math> é a aplicação identidade sobre o espaço de Hilbert assinado ao sistema, <math>\{ \cdot , \cdot \}</math> é o parênteses de Poisson e <math>[ \cdot , \cdot ]</math> é o comutador de operadores.

Pelo teorema de Stone-von Neumann a condição (5) implica que os graus de libertade de deslocamento nos obrigam a tomar <math>\mathcal{H} \approx L^2(\R^n)</math> e um operador é multiplicativo e outro derivativo. Assim usam-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas espaciais:

<math>\hat{q}_i \psi(q_i) = q_i \psi(q_i) \qquad

\hat{p}_i \psi(q_i) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i} \psi(q_i)</math>
Usa-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas de momento conjugado:

<math>\hat{p}_i \psi(p_i) = p_i \tilde{\psi}(p_i) \qquad

\hat{q}_i \psi(p_i) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial p_i} \tilde{\psi}(p_i)</math>

Sistemas quantizáveis

Um sistema hamiltoniano clássico definido sobre uma variedade simplética <math>(\mathcal{M},\omega)</math> se chama quantizável se existe um <math>S^1</math>-fibrado principal <math>\pi:\mathcal{Q_M} \to \mathcal{M}</math> e uma 1-forma <math>\alpha\;</math> sobre <math>\mathcal{Q_M}</math>, chamada variedade de quantização, tal que:

1. <math>\alpha\;</math> é invariante sob a ação de <math>S^1 [\approx U(1)]</math>
2. <math>\pi^*\omega = d\alpha\;</math>

Um resultado recolhido em Steenrod 1951 implica que uma variedade é quantizável se a segunda classe de co-homologia satisfaz certa propriedade:

<math>(\mathcal{M},\omega)</math> é quantizável se e somente se <math>\omega/h \in H^2(\mathcal{M},\mathbb{Z})</math>,

ou seja, a integral da forma simplética integrada sobre uma variedade compacta de dimensão 2 é um número inteiro multiplicado pela constante de Planck. É mais naqueles casos em que existe mais de um modo de quantizar um sistema clássico, as diferentes quantizações podem classificar-se de acordo com a forma de <math>H^1(\mathcal{M},\mathbb{Z})</math>

Primeira quantização

Os procedimentos de primeira quantização são métodos que permitem construir modelos de uma partícula dentro da mecânica quântica a partir da correspondente descrição clássica do espaço de fases de uma partícula.

• A quantização canônica, é um procedimento informal que assinala a magnitude física expressável em termos das coordenadas canônicas do sistema clássico, um operador obtido por substituição direta das variáveis canônicas por operadores hermíticos P_i e Q_i que satisfazem as relações [Q_i,P_i] = ih/2π, [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0 e [Q_i,P_j] = 0.
• A quantização de Weyl, é um procedimento para construir um operador hermítico sobre o espaço <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math> para um sistema cujo espaço de fases clássico tenha uma topologia <math>\mathbb{R}^{2n}</math>. Esta técnica foi descrita pela primeira vez por Hermann Weyl em 1927.

Segunda quantização

Ver artigo principal: Segunda quantização

Os procedimentos de segunda quantização são métodos para construir teorias quânticas de campos a partir de uma teoria clássica de campos.

• Quantização canônica, é uma extensão do procedimento de quantização canônica empregado na primeira quantização mas estendido neste caso a mais de uma partícula.
• Quantização canônica covariante.
• Quantização mediante integrais de caminho, proposto por Feynmann e Kac que depende de construir uma medida cotada em um espaço de Hilbert a partir do funcional de ação.
• Quantização geométrica.
• Aproximação variacional de Schwinger.

Referências

Bibliografia

• Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison-Wesley, ISBN 0-8053-0102-X.
• M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) [ISBN 0-201-50397-2]
• Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 volumes)