Notação Bra-ket

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Notação Bra-ket é uma notação padrão para descrever estados quânticos na teoria da mecânica quântica. Ela também é utilizada para denotar vetores e funcional linear abstratos na matemática pura. É assim chamada por ser o produto interno de dois estados denotados por um bracket, <math>\langle\phi|\psi\rangle</math>, consistindo de uma parte esquerda, <math>\langle\phi|</math>, denominada bra, e uma parte direita, <math>|\psi\rangle</math>, denominada ket. A notação foi criada por Paul Dirac, e por isso é também conhecida como notação de Dirac.

Bras e kets

Uso mais comum: Mecânica quântica

Em mecânica quântica, o estado físico de um sistema é idêntificado como um raio unitário em um espaço de Hilbert separável complexo, <math>\mathcal{H}</math>, ou, equivalentemente, por um ponto no espaço de Hilbert projetado de um sistema. Cada vetor no raio é chamado um "ket" e escrito como <math>|\psi\rangle</math>, que deve ser lido como "psi ket".

O ket pode ser visualizado como um vetor coluna e (dada uma base para o espaço de Hilbert) escrito por extenso em componentes,

<math>|\psi\rangle = (c_0, c_1, c_2, ...)^T, </math>

quando o espaço de Hilbert considerado possuir finitas dimensões. Em espaços de dimensão infinita, há infinitas componentes e o ket deve ser escrito em notação de função, precedido por um bra (veja abaixo). Por exemplo,

<math>\langle x|\psi\rangle = \psi(x) = ce^{- ikx}.</math>

Todo ket <math>|\psi\rangle</math> possui um bra dual, escrito como <math>\langle\psi|</math>. Por exemplo, o bra correspondente ao <math>|\psi\rangle</math> acima deve ser um vetor linha

<math>\langle\psi| = (c_0^*, c_1^*, c_2^*, ...). </math>

Isto é um funcional linear contínuo de <math>H</math> para os números complexos <math>\mathbb{C}</math>, definido por:

<math>\langle\psi| : H \to \mathbb{C}: \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right) = \operatorname{IP}\left( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \right)</math> para todo ket <math>|\rho\rangle</math>

onde <math>\operatorname{IP}( \cdot , \cdot )</math> denota o produto interno definido sobre o espaço de Hilbert. Aqui, uma vantagem da notação bra-ket torna-se clara: quando removemos os parênteses (como é comum em funcionais lineares) e fundimos junto com as barra, obtemos <math>\langle\psi|\rho\rangle</math>, que é a notação comum para produto interno no espaço de Hilbert. Esta combinação de um bra com um ket para formar um número complexo é chamada bra-ket ou bracket.

Em mecânica quântica a expressão <math>\langle\phi|\psi\rangle</math> (matematicamente o coeficiente para a projeção de <math>\psi\!</math> em <math>\phi\!</math>) é tipicamente interpretada como a amplitude de probabilidade para o estado <math>\psi\!</math> para o colapso no estado <math>\phi.\!</math>