Torque
Nota: Para outros significados, veja Torque (desambiguação).,_title,_p._5,_color.jpg)
Binário (português europeu) ou torque (português brasileiro), momento de alavanca ou simplesmente momento (deve-se evitar este último termo, pois o mesmo pode referir-se também ao momento angular, ao momento linear ou ao momento de inércia), é uma grandeza vetorial da física.
É definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um vector.
Introdução
O torque é definido pela relação:
- <math>\mathbf{\vec{\tau}} = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{\vec{r}} \times \mathbf{{\overrightarrow{p}}}\right) = \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} +\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}</math>
Pela segunda lei de Newton, <math>\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}</math> .
Como <math>\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}</math>, e a velocidade tem a mesma direção do momento, tem-se que <math> \mathbf{\vec{v}} \times \mathbf{\vec{p}} = \mathbf{\vec{0}}</math>, logo
- <math> \mathbf{\vec{\tau}} = \mathbf{\vec{r}} \times \mathbf{\vec{F}} </math>
na qual <math>\times</math> é o produto vetorial ou externo. Em módulo,
- <math> |\mathbf{\tau}| = |\mathbf{r}| |\mathbf{F}| sen(\theta) </math>
sendo θ o ângulo entre o braço do momento e a força aplicada.
Numa linguagem mais informal, poderá dizer-se que o torque é a medida de quanto uma força que age em um objeto faz com que o mesmo gire.
Unidades
É definida no Sistema Internacional de Unidades para o torque é o newton metro. Ainda que matematicamente a ordem destes factores, "newton" e "metros", seja arbitrária, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica[1] que a ordem deve ser N·m e não m·N.
Cálculos de Forças
Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las todas para um mesmo ponto, mas por cada força <math>\vec F</math> deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura abaixo mostra uma força <math>\vec F</math> aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.
O vetor posição <math>\vec r</math> do ponto P tem módulo r e faz um ângulo <math>\theta</math> com a força <math>\vec F</math> O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a r sin <math>\theta</math> e, portanto, o torque da força em relação a O é:
| <math>\tau = F\;r\;sin\theta</math> |
Repare que <math>(F\;sin\theta)</math> é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição <math>\vec r</math> e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math>
No caso da soma das forças paralelas , o deslocamento das forças para o ponto S introduz dois torques, <math>(\tau_1 = F_1d_1)</math> e <math>(\tau_2 = F_2d_2)</math> os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças,do ponto S, é a força F, sem nenhum torque.
É também importante ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por <math>\vec F</math> quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math>. Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores <math>\vec e_z</math> e <math>-\vec e_z</math> Assim, podemos definir o vetor torque <math>\vec \tau</math> usando a expressão vetorial:
| <math>\vec \tau = \vec r \times \vec F</math> |
em que <math> \vec r \times \vec F</math> é, por definição, um vetor com módulo dado pela
equação <math>\tau = F\;r\;sin\theta</math> , direção perpendicular ao plano definido por
<math>\vec r</math> e <math>\vec F</math> e sentido dado pela regra da mão direita:
afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no
sentido de <math> \vec r </math> e o dedo médio no sentido de <math>\vec F</math> , o sentido
de <math>\vec \tau </math> é dado pelo dedo polegar.
É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; <math>(\vec a \times \vec b)</math> e <math>(\vec b \times \vec a)</math> são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto <math>\vec a \times \vec a</math> é sempre nulo; em particular,
<math>\vec e_x \times \vec e_x = \vec e_y \times \vec e_y = 0 </math>
O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a eles; assim, temos que
<math>(\vec e_x \times \vec e_y = \vec e_z)</math> e <math>(-\vec e_y \times \vec e_x = -\vec e_z)</math> .
Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:
| <math>\vec \tau = \begin{vmatrix}x & y \\ F_x & F_y\end{vmatrix}\vec e_z = (xF_y - yF_x)\vec e_z </math> |
Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.[2]
Equilíbrio de rotação
Diz-se que uma alavanca está em equilíbrio quando a soma de todos os seus momentos é nula.
- <math>\sum{T}=0</math>
Momento e Binários
A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço <math>b</math>),
<math> M_\mathrm{O} = F\,b </math>
O momento <math>M_\mathrm{O}</math> representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.[2]
Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.
Sendo <math>\vec{r}</math> o vetor posição do ponto P em que a força <math>\vec{F}</math> é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a <math>r\,\sin\theta</math>, em que o ângulo <math>\theta</math> é o ângulo entre os vetores <math>\vec{r}</math> e <math>\vec{F}</math> (figura ao lado). [2]
Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,
<math> M_\mathrm{O} = F\,r\,\sin\theta </math>
Repare-se que (<math>F\,\sin\theta</math>) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição <math>\vec{r}</math>, ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, <math>r</math>, pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.[2]
A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:
<math> \vec{M}_\mathrm{O} = \vec{r}\times\vec{F} </math>
O vetor <math>\vec{M}_\mathrm{O}</math> representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.
Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor <math>\vec{M}_\mathrm{O}</math>.
Um binário é um conjunto de duas forças <math>\vec{F}</math> e <math>-\vec{F}</math>, iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.
O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,
<math> \vec{r}_\mathrm{Q}\times\vec{F} - \vec{r}_\mathrm{P}\times\vec{F} = (\vec{r}_\mathrm{Q}) - \vec{r}_\mathrm{P}\times\vec{F} </math>
Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor <math>\vec{r}_\mathrm{PQ}</math> na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.
Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,
<math> \vec{M} = \vec{r}_\mathrm{PQ}\times\vec{F} </math>
Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.
Uma força <math>\vec{F}</math> aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.
Adicionam-se duas forças <math>-\vec{F}</math> e <math>\vec{F}</math> nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário <math>\vec{M}</math> com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.
No caso da figura anterior, <math>M</math> deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de <math>F</math> pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, <math>\vec{M}=\vec{r}_\mathrm{QP}\times\vec{F}</math>.
No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força <math>\vec{F}</math> no ponto Q e o binário <math>\vec{M}=\vec{r}_\mathrm{QP}\times\vec{F}</math> que é igual ao momento <math>\vec{M}_Q</math> que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.
Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.
Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo <math>x</math> e <math>y</math> e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força <math>\vec{F}</math> em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo <math>z</math>, dada pelo determinante,
<math> M_z = \left| \begin{array}{cc}x & y \\ F_x & F_y \end{array} \right| </math>
em que <math>x</math> e <math>y</math> são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força <math>\vec{F}</math>.
Para obter o binário resultante bastará somar os valores de <math>M_z</math> obtidos para cada força.[2]
Ver também
- Impulso
- Movimento circular uniforme
- Binário do motor ou torque do motor
Referências
- ↑ SI - Unidades derivadas
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Trechos que usam material da obra Villate, Jaime E. Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: [s.n.], 2013. Capítulo: 6: Dinâmica dos corpos rígidos, ISBN 978-972-99396-1-7 Página visitada em 8 de junho de 2013. Disponibilizada nos termos da Creative Commons Attribution Share Alike 3.0. Erro de citação: Código
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