Matrizes de Pauli

As matrizes de Pauli devem o seu nome a Wolfgang Ernst Pauli e são uma representação do grupo especial unitário SU(2). Têm a seguinte forma:

<math> \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math> \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}</math>

<math> \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math>

Cumprem as regras de comutação do grupo SU(2):

<math>\left [\sigma_i,\sigma_j \right ]=2i\varepsilon_{ijk} \sigma_k</math>

onde <math>\varepsilon_{ijk}</math> é o Símbolo de Levi-Civita.

Ootras propriedades importantes são:

<math> \sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I</math>

<math>\operatorname{det} (\sigma_i) = -1</math>

<math>\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0</math>

As matrizes de Pauli têm grande utilidade na mecânica quântica. A aplicação mais conhecida é a representação do operador de spin para uma partícula de spin 1/2. Assim, te-se

<math> \hat s_i\ = \frac{\hbar}{2}\sigma_i</math>