Comprimento de onda Compton

O comprimento de onda Compton pode ser entendido como uma limitação fundamental na medida da posição de uma partícula, tomando-se as implicações da mecânica quântica e relatividade especial em conta. Isto depende da massa <math>m \ </math> da partícula.

Definições matemáticas

O comprimento de onda Compton <math>\lambda \ </math> de uma partícula é dado por

<math> \lambda = \frac{h}{m c} = 2 \pi \frac{\hbar}{m c} \ </math>,

onde

<math>h \ </math> é a constante de Planck,

<math>m \ </math> é a massa da partícula,

<math>c \ </math> é a velocidade da luz.

O valor CODATA de 2002 para o comprimento de onda Compton do elétron é 2.4263102175×10⁻¹² m com uma incerteza padrão de 0.0000000033×10⁻¹² m.^[1] Outras partículas têm diferentes comprimentos de onda Compton.

Para ver-se isto, note-se que nós podemos medir a posição de uma partícula por incidir luz sobre ela - mas mas medir a posição precisamente requer luz de pequeno comprimento de onda. Luz de comprimento de onda pequeno consiste de fótons de alta energia. Se a energia destes fótons excede <math> mc^2 \ </math>, quando um atinge a partícula onde cuja posição está sendo medida a colisão deve ter suficiente energia para criar uma nova partícula do mesmo tipo. Disto resulta em tornar oculta a questão da localização original da partícula.

Este argumento também mostra que o comprimento de onda Compton é a ponto de interrupção abaixo do qual a teoria quântica de campos – a qual pode descrever a criação e aniquilação de partículas – torna-se importante.

Pode-se fazer o argumento acima um tanto mais preciso como segue-se. Suponhamos que deseja-se medir a posição de um partícula dentro de uma precisão <math>\Delta x \ </math>. Então a relação de incerteza para a posição e o momento diz que

<math>\Delta x\,\Delta p\ge \hbar/2</math>

então a incerteza no momento da partícula satisfaz

<math>\Delta p \ge \frac{\hbar}{2\Delta x}</math>

Usando a relação relativística entre momento e energia, quando <math>\Delta p</math> excede <math>mc</math> então a incerteza na energia é maior que <math>mc^2 \ </math>, o que é suficiente energia paracriar outra partícula do mesmo tipo. Então, com um pouco de álgebra, nós vemos aqui uma limitação fundamental

<math>\Delta x \ge \frac{\hbar}{2mc}</math>

Assim, pelo menos dentro de uma ordem de magnitude, a incerteza na posição deve ser maior do que o comprimento de onda de Compton <math>h/mc \ </math>.

O comprimento de onda de Compton pode ser comparado com o comprimento de onda de de Broglie, o qual depende do momento de uma partícula e determina o ponto de corte entre o comportamento de partícula e onda na mecânica quântica.

O caso dos férmions

Para férmions, o comprimento de onda de Compton determina a seção transversal de interações. Por exemplo, a seção transversal para a dispersão de Thonsom de um fóton de um elétron é igual a

<math>(8\pi/3)\alpha^2\lambda_e^2</math>,

onde <math>\alpha \ </math> é a constante de estrutura fina e <math>\lambda_e \ </math> é o comprimento de onda de Compton do elétron. Para bósons gauge, o comprimento de onda de Compton determina a escala da interação Yukawa: desde que o fóton não tenha massa de repouso, o eletromagnetismo tem escala infinita.

O comprimento de onda de Compton do eléctron é um dos do trio de unidades de comprimento relacionadas , as outras duas sendo raio de Bohr <math>a_0</math> e o raio clássico do elétron <math>r_e</math>. O comprimento de onda de Compton é obtido a partir da massa do elétron <math>m_e</math>, constante de Planck <math>h</math> e a velocidade da luz <math>c</math>. O raio de Bohr é obtido de <math>m_e</math>, <math>h</math> e a carga do elétron <math>e</math>. O raio clássico do elétron é obtido de <math>m_e</math>, <math>c</math> e <math>e</math>. Qualquer um destes três comprimentos pode ser escrito em termos de qualquer outro usando a constante de estrutura fina <math>\alpha</math>:

<math>r_e = {\alpha \lambda_e \over 2\pi} = \alpha^2 a_0</math>

A massa de Planck é especial porque ignorando fatores de <math>2 \pi</math> e igualmente, o comprimento de onda de Compton para esta massa é igual a seu raio de Schwarzschild. Esta distância especial é chamada comprimento de Planck. Este é um simples caso de análise dimensional: o raio de Schwarzschild é proporcional à massa, onde o comprimento de onda de Compton é proporcional ao inverso da massa.

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(em inglês)