Esfera

Uma esfera.

 Nota: Para outros significados, veja Esfera (desambiguação).

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma.

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.

Quanto à geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação: <math>(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2</math> em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.

Área e volume

semi-esfera

A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:

<math>A = 4\pi r^2</math>

O volume de uma esfera é dado pela fórmula

<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Calota x segmento esférico

Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

<math> Ac = 2 \pi \cdot r \cdot h</math>

Área do Segmento Esférico:

<math> As = At - Ac </math>

Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.

O volume do segmento é:

<math> V = {\pi \cdot h^2 \over 3} \cdot (3 \cdot R - h) </math>

Fuso x cunha

Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por "goma de mexirica" (metaforicamente).

Área do fuso:

<math> Af = {\alpha \over 360} \cdot 4 \pi \cdot r^2 </math>

<math>\alpha</math> é o ângulo do fuso.

O volume do fuso é:

<math> Vc = {\alpha \over 360} \cdot {4 \over 3} \cdot \pi r^3 </math>

Nota-se que a área e o volume da cunha podem ambos ser obtidos subtraindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para a esfera.

Volume

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).

Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):

<math>\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

<math>V_{\frac{1}{2}} \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

<math>V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi y^2 dx.</math>

em toda a evolução de "x" o raio da esfera (r) é sempre constante formando um triângulo retângulo conectando x, y e r à origem, obedecendo ao teorema de Pitágoras:

<math>r^2 = x^2 + y^2.</math>

Substituindo y:

<math>V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi (r^2 - x^2)dx.</math>

Calculando a integral:

<math>V_{\frac{1}{2}} = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.</math>

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3.</math>

Área

Uma vez provado o volume, podemos demostrar a área da superfice a partir deste resultado (que se explica ao entender que uma esfera é a composição de "cascas de esfera" de espessura infinitesimal, "uma dentro da outra"):

<math>\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_{0}^{r}A(r) dr.</math>

Derivando os dois lados da equação em relação a r:

<math>4\pi r^2 = A(r).</math>

Que pode ser abreviada como:

<math>A = 4\pi r^2.</math>

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

<math>dA = r^2 \mathrm{sen}\,\phi\, d\phi\, d\theta.</math>

Portanto a área total será:

<math>A = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi r^2 \mathrm{sen}\,\phi \, d\phi \, d\theta = 4\pi r^2.</math>

Equação da esfera em R³

Em geometria analítica, uma esfera com centro (x₀, y₀, z₀) e raio r é o lugar geométrico tal que:

<math>(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>

Na forma parametrizada

<math>x = x_0 + r \mathrm{sen}\, \theta \; \cos \varphi </math>

<math>y = y_0 + r \mathrm{sen}\, \theta \; \mathrm{sen}\, \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \theta \leq \pi )</math>

<math>z = z_0 + r \cos \theta</math>

Ver também

• Esfera tridimensional

Ligações externas

• Livro Cônicas e Quádricas: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 246 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.