Fidelidade dos estados quânticos

Fidelidade, ou função de fidelidade, ou ainda função quântica de fidelidade, em Teoria de informação quântica, é u’a medida do "fechamento" (em inglês, closeness) de/entre dois estados quânticos. Não é medida no espaço de matrizes densidade. Costuma, quando não há possibilidade de confusão, ou se o assunto é tratado especifica e restritamente no domínio físico-químico quântico, ser reportada apenas por fidelidade, a bem da simplicidade.

Introdução

Em teoria de probabilidade, dadas duas variáveis aleatórias p = (p₁...p_n) e q = (q₁...q_n) no espaço de probabilidades X = {1,2...n}. A fidelidade de p e q é definida pela quantidade

<math>F(p,q) = \sum _i \sqrt{p_i q_i}</math>.

Noutras palavras, a fidelidade F(p,q) é o produto escalar ou interno de <math>(\sqrt{p_1}, \cdots ,\sqrt{p_n})</math> e <math>(\sqrt{q_1}, \cdots ,\sqrt{q_n})</math> vistos como vetores no Espaço euclidiano. Observe que, quando p = q, F(p,q) = 1. Em geral, <math>0 \leq F(p,q) \leq 1</math>.

Fazendo-se as modificações apropriadas para a noção matricial de raiz quadrada, pode-se dizer que a definição acima fornece a função fidelidade de dois estados quânticos.

Definição

Dadas duas matrizes densidade ρ e σ, a função fidelidade é definida por:

<math>F(\rho, \sigma) = \operatorname{Tr} (\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}).</math>

Por M^½ de u’a matriz positiva semidefinida M, quer-se significar a unicidade da raiz quadrada dada pelo teorema espectral. O produto escalar ou interno euclidiano a partir da definição clássica é substituído pelo produto escalar de Hilbert-Schmidt. Quando se trata de estados clássicos, isto é, quando ρ e σ são comutativos, a definição dada coincide com aquela válida para função de densidade de probabilidade.

Observe-se, pela definição, que F é não-negativo, e F(ρ,ρ) = 1. Na seção seguinte será mostrado que ele não pode ser maior que 1.

Exemplos simples

Estados puros

Considerem-se estados puros dados por:

<math>\rho = | \phi \rangle \langle \phi |</math> and <math>\sigma = | \psi \rangle \langle \psi |</math>. Sua fidelidade sera:

<math>

F(\rho, \sigma) = \operatorname{Tr} [\rho \; \sigma \rho]^{\frac{1}{2}}

= \operatorname{Tr} \; [| \phi \rangle \langle \phi | \psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle \langle \phi | ]^{\frac{1}{2}}

= | \langle \phi | \psi \rangle |. </math >

Isso é, algumas vezes, chamado superposição entre dois estados. Se — diga-se — <math>|\phi\rangle</math> é um eigen-estado de um observável, e o sistema é preparado em <math>| \psi \rangle</math>, então F(ρ, σ)² é a probabilidade do sistema estar no estado <math>|\phi\rangle</math> após a medida.

Estados comutativos

Sejam ρ e σ duas matrizes densidade comutativas. Assim, elas podem ser simultaneamente diagonalizadas por matrizes unitárias, de modo que se pode escrever:

<math> \rho = \sum_i p_i | i \rangle \langle i |</math> e <math> \sigma = \sum_i q_i | i \rangle \langle i |</math>

para alguma base ortonormal <math>\{ | i \rangle \}</math>.

O cálculo direto mostra que a fidelidade é:

<math>F(\rho, \sigma) = \sum_i \sqrt{p_i q_i}.</math>

Isso mostra que, heuristicamente, fidelidade de estados quânticos é uma extensão genuína da noção advinda da teoria de probabilidades.

Algumas propriedades

Invariância unitária

O cálculo direto mostra que a fidelidade é preservada por evolução unitária, isto é:

<math>\; F(\rho, \sigma) = F(U \rho \; U^*, U \sigma U^*)</math>

para qualquer operador unitário U.

Teorema de Uhlmann

Viu-se que, para dois estados puros, sua fidelidade coincide com a superposição. O teorema de Uhlmann estende ou generalize essa afirmação para estados mistos, em termos de suas purificações:

Teorema Sejam ρ e σ duas matrizes densidade agindo sobre Cⁿ. Seja ρ^½ a raiz quadrada positiva única de ρ e

<math>

| \psi _{\rho} \rangle = \sum_{i=1}^n \rho^{\frac{1}{2}} | e_i \rangle \otimes | e_i \rangle \in \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n </math>

uma purificação quântica de ρ (logo {|e_i >} é uma base ortonormal).

Então, a seguinte igualdade é válida:

<math>F(\rho, \sigma) = \max_{|\psi_{\sigma} \rangle} | \langle \psi _{\rho}| \psi _{\sigma} \rangle |</math>

onde <math>| \psi _{\sigma} \rangle</math> é uma purificação de σ. Assim, em geral, a fidelidade é a máxima superposição entre as purificações.

Prova: Uma prova simples pode ser apresentada como segue. Seja |Ω > o vetor

<math>| \Omega \rangle= \sum | e_i \rangle \otimes | e_i \rangle</math>

e σ^½ raiz quadrada positiva única de σ. Viu-se que, devido à liberdade unitária em fatorações de raiz quadrada e escolhidas bases ortonormais, uma purificação arbitrária de σ é da forma

<math>| \psi_{\sigma} \rangle = ( \sigma^{\frac{1}{2}} V_1 \otimes V_2 ) | \Omega \rangle</math>

onde V_i's operadores unitários. Agora se calcula diretamente

<math>

| \langle \psi _{\rho}| \psi _{\sigma} \rangle |

= \langle \Omega | ( \rho^{\frac{1}{2}} \otimes I) ( \sigma^{\frac{1}{2}} V_1 \otimes V_2 ) | \Omega \rangle

= \operatorname{Tr} ( \rho^{\frac{1}{2}} \sigma^{\frac{1}{2}} V_1 V_2 ). </math>

Mas, em geral, para qualquer matriz quadrada A e unitária U, é verdadeiro que |Tr(AU)| ≤ Tr (A^*A)^½. Ademais, igualdade é assegurada se U^* é o operador unitário na decomposição polar de A. Resta, pois, demonstrado diretamente o teorema de Uhlmann.

Consequências

Algumas consequências imediatas do teorema de Uhlmann são:

• Fidelidade é simétrica em seus argumentos, isto é F (ρ,σ) = F (σ,ρ). Observe-se, contudo, que isso não é óbvio a partir da definição.
• F (ρ,σ) falha in [0,1], de acordo com a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
• F (ρ,σ) = 1 se e somente se ρ = σ, desde que Ψ_ρ = Ψ_σ implica ρ = σ.

Bibliografia

• JOZSA, R. Fidelity for mixed quantum states. Journal of Modern Optics, 1994, vol. 41, 2315-2323.