Valor eficaz

Em Matemática, o valor quadrático médio ou RMS (do inglês root mean square) ou valor eficaz é uma medida estatística da magnitude de uma quantidade variável. Pode-se calcular para uma série de valores discretos ou para uma função variável contínua. O nome deriva do fato de que é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores. É um caso especial da potência média com o expoente p = 2.

Definição

O rms para uma coleção de N valores {x₁, x₂, ... , x_N} é dado pela fórmula (1):

<math> (1)

x_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2} = \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_N^2} \over N} </math>

Para uma função variável contínua f(t) definida sobre o intervalo T₁ ≤ t ≤ T₂ o rms é dado pela expressão:

<math> (2)

x_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2 - T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {[f(t)]}^2\, dt}}. </math>

O valor rms para uma função ao longo do tempo é:

<math> (3)

f_\mathrm{rms} = \lim_{T\rightarrow \infty} \left ( \sqrt {{1 \over {2T}} {\int_{-T}^{T} {[f(t)]}^2\, dt}} \right ). </math>

O RMS ao longo do tempo para uma função periódica é igual ao RMS de um período da função. O valor RMS de uma função ou sinal contínuos pode ser avaliado, tomando o RMS de uma série de amostras, igualmente espaçadas no tempo.

Equações para calcular os valores RMS de formas de onda comuns

Grandezas e Unidades: 't:' tempo em Segundos (s) 'f:' Frequencia em Hertz (Hz) 'a:' amplitude (valor de pico). Pode ser qualquer grandeza física, ex.: Corrente (Ampéres), Tensão (Volts), Força (Newtons), etc '%:' é a operação "Resto da divisão inteira" Ex.: 10 / 3 = 3,333333... 10 % 3 = 1
Forma de Onda	Equação	RMS
Sinusoide ^(pt-PT) / Senoide ^(pt-BR)	<math>y=a\sin(2\pi ft)\,</math>	<math>\frac{a}{\sqrt{2}}</math>
Onda Quadrada	<math>y=\begin{cases}a & ((ft) % 1) < 0.5 \\ -a & ((ft) % 1) > 0.5 \end{cases}</math>	<math>a\,</math>
Sinusoide / Senoide Modificada	<math>y=\begin{cases}0 & ((ft) % 1) < 0.25 \\ a & 0.25 < ((ft) % 1) < 0.5 \\ 0 & 0.5 < ((ft) % 1) < 0.75 \\ -a & ((ft) % 1) > 0.75 \end{cases}</math>	<math>\frac{a}{\sqrt{2}}</math>
Onda "Dente-de-Serra"	<math>y=0.5-2a((ft)%1)\,</math>	<math>a \over \sqrt 3</math>

Utilização

O valor eficaz de uma função é frequentemente usado na física e na eletrônica. Por exemplo, nós podemos calcular a Potência P dissipada por um condutor elétrico de resistência R. Ela é fácil de se calcular quando uma corrente constante (I) percorre o condutor, que é simplesmente:

<math>(4)\qquad\qquad P = I^2 R</math>

ou, considerando uma tensão eléctrica (também designada voltagem) V, é aplicada a uma resistência R, fica:

<math>(5)\qquad\qquad P = {V^2 \over R}</math>

Mas e se a corrente é uma função I(t) que varia seu valor no tempo? É neste momento que se utiliza o valor eficaz. Neste caso, pode-se substituir o valor da corrente constante I pelo valor eficaz da função I(t) na equação acima para se obter a potência dissipada média, assim:

<math>(6)\qquad\qquad P = I_\mathrm{rms}^2 R</math>

Alternativamente, se a tensão é uma função V(t) que varia seu valor no tempo, a potência dissipada média é dada pela equação:

<math>(7)\qquad\qquad P = {V_\mathrm{rms}^2 \over R}</math>

No caso comum da corrente alternada, quando I(t) é uma corrente senoidal, tal como se verifica na energia eléctrica distribuída na rede pública, o valor RMS é fácil de calcular a partir da equação (2) acima indicada. O resultado é:

<math>(8)\qquad\qquad {I_\mathrm{rms}} = {I_p \over {\sqrt 2}}</math>

ou, no caso da tensão:

<math>(9)\qquad\qquad {V_\mathrm{rms}} = {V_p \over {\sqrt 2}}</math>

em que I_p e V_p são os valores de pico (amplitude).

O valor RMS pode ser calculado usando a equação (2) para qualquer forma de onda, por exemplo, um sinal de áudio ou de rádio. Assim, podemos calcular a potência média fornecida a uma carga específica. Por esta razão, as tensões (ou voltagens) indicadas em tomadas de energia e equipamentos eléctricos, (127V ou 220V) são os valores RMS e não os valores de pico (amplitudes).

No campo de áudio, potência média é frequentemente (e de forma errada) designada potência RMS. Isto deve-se provavelmente derivado de Tensão RMS ou corrente RMS. Além disso, como o valor RMS implica alguma forma de valor médio, expressões como "potência RMS de pico", frequentemente utilizadas em anúncios de amplificadores de áudio, não têm qualquer significado.

Relação entre média aritmética e desvio padrão

Se <math>\bar{x}</math> for a média aritmética e <math>\sigma_{x}</math> o desvio padrão de uma população, então:

<math>x_{\mathrm{rms}}^2 = \bar{x}^2 + \sigma_{x}^2.</math>

Ver também

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