Flambagem

Barra flexionada por flambagem devido à compressão axial

A flambagem ou encurvadura é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas (peças onde a área de secção transversal é pequena em relação ao seu comprimento), quando submetidas a um esforço de compressão axial. A flambagem acontece quando a peça sofre flexão tranversalmente devido à compressão axial. A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. A tensão crítica para ocorrer a flambagem não depende da tensão de escoamento do material, mas da seu módulo de Young.

<math>P_{CR}</math> - carga crítica de flambagem: faz com que a peça comece a flambar. Unidade - N

• Equilíbrio estável: <math>P < P_{CR}</math> - não há flambagem
• Equilíbrio indiferente: <math>P = P_{CR}</math>
• Equilíbrio instável: <math>P > P_{CR}</math>

Quando a flambagem ocorre na fase elástica do material, a carga crítica ( Pcr ) é dada pela fórmula de Euler:

<math>P_{CR}=\frac{\pi^2.E.I}{L_f^2}</math>

<math>E</math> = módulo de elasticidade longitudinal do material em pascal

<math>I</math> = menor dos momentos de inércia da secção em m⁴

<math>L_f</math> = comprimento de flambagem da peça em metros

Para determinar se uma peça irá sofrer flambagem ou compressão, temos que calcular o seu índice de esbeltez e compara-lo ao índice de esbeltez crítico. Esse índice de esbeltez é padronizado para todos os materiais.

Se o índice de esbeltez crítico for maior que o índice de esbeltez padronizado do material, a peça sofre flambagem, se for menor, a peça sofre compressão.

Considerações físicas

Flambagem de uma barra elástica.

Consideramos uma barra homogênia de comprimento inicial L preso por pinos em ambas as extremidades, à qual é aplicada uma força axial de compressão de módulo P. Supomos que a barra se flexiona formando uma pequena flecha para direita. Esta flexão acarreta que a distância entre as extremidades seja ligeiramente reduzida de L para A. Denotamos então por u(x) a deflexão horizontal da curva central, onde x varia entre 0 e A. Sabemos que momento da força P à altura x é dado então por:

<math>M(x)=P u(x)\,</math>

Da teoria de vigas, sabe-se que o momento fletor se relaciona com o raio de curvatura da barra de seguinte forma:

<math>M(x)=-\frac{EI}{R(x)}\,</math>

onde M é momento, E é o módulo de Young, I é o momento de inércia e R é o raio de curvatura, que, sob a hipótese de pequena deflexão, pode ser aproximado por <math>\frac{1}{R(x)}=u_{xx}(x)\,</math>, assim temos:

<math>M(x)=P u(x)=-EIu_{xx}(x)\,</math>

A deflexão u(x) satisfaz, portanto, a seguinte equação diferencial ordinária:

<math>u_{xx}(x)+k^2u(x)=0\,</math>

onde <math>k^2=\frac{P}{EI}\,</math> A solução geral desta equação é dada por:

<math>u(x)=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)\,</math>

Da condição <math>u(0)=0\,</math>, temos que <math>C_2=0\,</math>. Da condição <math>u(A)=0\,</math>, temos:

<math>kA=n\pi,~~n=0,1,2,\ldots\,</math>

assim, temos que <math>k^2=\frac{n^2\pi^2}{A^2}=\frac{P}{EI}\,</math>, de onde temos:

<math>P=\frac{n^2\pi^2EI}{A^2}\,</math>

Quando <math>n=0\,</math>, não há flambagem, portanto escolhemos n=1. A altura A deve ser inferior ao comprimento L, portanto temos:

<math>P>P_{cr}:=\frac{\pi^2EI}{L^2}\,</math>

Concluimos, que esta desigualdade é uma condição mínima para que ocorra a flambagem.

Aproximação da flecha de flambagem.

A flecha formada após o início da flambagem pode ser aproximada conforme a figura à direita:

<math>f^2=\frac{L^2}{4}-\frac{A^2}{4}=\frac{L^2}{4}-\frac{\pi^2EI}{4P}\,</math>

O valor da flecha em relação ao comprimento L assume uma forma mais simples:

<math>\left(\frac{f}{L}\right)^2=\frac{1}{4}\left(1-\frac{P_{cr}}{P}\right)\,</math>

O que mostra que o comprimento da flecha possui uma dependência não linear com a força aplicada.

Cálculo do comprimento de Flambagem da peça

Experimento mostrando o efeito das extremidades sobre o fenômeno de flambagem.

Peças engastadas e livres

Para esse tipo de peça, o comprimento de flambagem é o dobro do comprimento da peça, ou seja:

Lf = 2L

Peças bi-articuladas

Para esse tipo de peça, o comprimento de flambagem é igual o comprimento da peça, ou seja:

Lf = L

Peças articuladas e engastadas

Para esse tipo de peça, o comprimento de flambagem é 0,7 do comprimento da peça, ou seja:

Lf = 0,7 L

Peças bi-engastadas

Para esse tipo de peça, o comprimento de flambagem é metade do comprimento da peça, ou seja:

Lf = 0,5 L

Referências

• Saraiva, Karla (2006), Homepage do Defensor do Código Aberto - inf.unisinos.br Acessado em 5 de dezembro de 2008.
• MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 10ª edição. São Paulo: Editora Érica, 2000.