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2014-01-22T13:08:02Z

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{{Mecânica Clássica|Movimento rotacional}}

[[Imagem:Angularvelocity.png|thumb|294px|A velocidade angular descreve a velocidade de uma [[rotação]]. A direção do vector velocidade angular será ao redor do [[eixo de rotação]] neste caso, em [[sentido anti-horário]].]]

A '''velocidade angular''' de uma partícula ou de um [[corpo rígido]] descreve a taxa com que a sua [[orientação]] muda. Ela é análoga à [[velocidade|velocidade translatorial]], e é definida nos termos da [[derivada|derivação]] da orientação com respeito ao [[tempo]], assim como a velocidade translatorial é a derivação da posição em função do tempo. Costuma-se introduzir o conceito de velocidade se definindo primeiramente a [[velocidade média]] como sendo o [[deslocamento]] [[Divisão|dividido]] pelo tempo. Neste ponto a analogia com a velocidade angular não é de grande utilidade pois, por exemplo, caso um corpo esteja rodando a uma velocidade angular constante de uma [[revolução]] por [[minuto]], ao fim de um período de um minuto a 'velocidade angular média' do corpo seria de zero, pois a orientação é exatemente a mesma que a do início do [[período]] de tempo ao final de uma rotação.

Mais precisamente, se <math>A(t)</math> é a [[grupo ortogonal especial|transformação ortogonal linear especial]] que descreve a orientação, a ''velocidade angular'' é definida como <math>A(t)^{-1}{d\over dt}A(t)</math>. Disso segue que a velocidade angular é uma [[matriz antisimétrica|transformançao skew-adjoint linear]]. É útil restringir a atenção a duas ou três [[dimensões]] e representar a [[álgebra de Lie]] tridimensional das tranformações lineares skew-adjoint para V<math>{}_3</math>('''R''') por '''R'''³. O [[comutador (matemática)|comutador]], que é o produto da álgebra de Lie, é representado pelo [[produto vetorial]] em '''R'''³. O resto deste artigo possui sua discussão utilizando este estilo.

== Vector Velocidade Angular ==

A '''velocidade angular média ''' é um [[vetor]] com uma [[quantidade física]] que representa o processo de [[rotação]] (mudança de [[orientação]]) que ocorre em um instante de tempo. Para um [[corpo rígido]] se suplementa a [[velocidade]] translatorial do [[centro de massa]] para se descrever seu movimento completo. Ela é comumente representada pelo símbolo [[ômega]] ('''Ω''' ou '''ω'''). A [[magnitude]] da velocidade angular é a [[frequência angular]], representada por ω. A linha de direção da velocidade angular é dada pelo [[eixo de rotação]], e a [[regra da mão direita]] indica a direção positiva, da seguinte forma:

:Se você enrolar os [[dedo]]s de sua [[mão]] direita seguindo a direção da rotação, então a direção da velocidade angular é indicada pelo seu [[polegar]] direito.

Nas unidades do [[SI]], a velocidade angular é medida em [[radiano]]s por [[segundo]] (rad/s), apesar de uma direção ter que ser especificada. As dimensões da velocidade angular são T -1, pois os radianos são [[adimensional|adimensionais]].

Para qualquer [[partícula]] de um corpo em movimento ou rotação temos:

:<math> \mathbf{v} = \mathbf{v}_t + \boldsymbol\omega \times (\mathbf{r} - \mathbf{r}_c) </math>

onde
*<math>\mathbf{v}</math> é a velocidade total da partícula
*<math>\mathbf{v}_t</math> é a velocidade translacional
*<math> \mathbf{r} </math> é a posição da partícula
*<math> \mathbf{r}_c </math> é a posição do centro do corpo.

Para descrever o movimento, o "centro" pode ser qualquer partícula ou ponto imaginário do corpo que esteja rigidamente conectado ao mesmo (o vetor de translação depende desta escolha), porém tipicamente o [[centro de massa]] é utilizado, pois esta escolha simplifica algumas fórmulas.

Quanto o [[produto vetorial]] é escrito sobre a forma de uma [[matriz]], nós temos um [[matriz anti-simétrica]] com [[zero]]s na diagonal principal e componentes positivos e negativos da velocidade angular como os outros elementos.

Com uma [[aceleração angular]] constante, a velocidade angular obedece às [[equações de movimento]] rotacional, equivalentes às equações de movimento sobre uma [[aceleração]] linear constante.

A [[frequência angular]] é também utilizada no lugar da frequência comum em situações que não envolvem rotação, especialmente na [[eletrônica]], pois elas geram [[senóide]]s e varias equações que são obtidas através de cálculos em senóides simples. (ωt ao invés de 2πft).

== O caso do movimento não-circular==

Se o movimento da partícula é descrito por uma função com um valor-''vetor de posição'' '''r'''(''t''), com respeito a uma [[origem]] fixa, então o vetor velocidade angular é dado por:

:<math> \boldsymbol\omega = {\mathbf{r} \times \mathbf{v} \over |\mathbf{r}|^2} \qquad \qquad (1) </math>

onde :<math> \mathbf{v}(t) = \mathbf{r'}(t) </math>
é o vetor velocidade linear.

A [[equação]] (1) é aplicável a movimentos não-circulares, tais como [[Órbita elíptica|órbitas elípticas]].

=== Derivação ===

O vetor '''v''' pode ser representado com um par de componentes: <math> \mathbf{v}_\perp </math> que é perpendicular a '''r''', e <math> \mathbf{v}_\| </math> que é paralelo a '''r'''. O movimento do componente paralelo é completamente linear e não produz nenhuma rotação da partícula (com relação à origem), então para o propósito de encontrar a velocidade angular este pode ser ignorado. I movimento da componente perpendicular é completamente circular, pois este é perpendicular ao vetor radial, como qualquer [[tangente]] em um ponto de um [[círculo]].

A componente perpendicular possui a magnitude
:<math> |\mathbf{v}_\perp| = {|\mathbf{r} \times \mathbf{v}| \over |\mathbf{r}|} \qquad \qquad (2)</math>
aonde o vetor <math> \mathbf{r} \times \mathbf{v} </math> representa a área do palalerogramo cujos dois dos lados são os vetores '''r''' e '''v'''. Dividindo esta área pela magnitude de '''r''' temos a [[Altura (medida)|altura]] deste paralelogramo entre '''r''' e o lado do paralelogramo paralelo a '''r'''. Esta altura é igual componente '''v''', que é perpendicular a '''r'''.

No caso de um movimento puramente circular, a velocidade angular é igual à velocidade linear dividida pelo [[raio]]. No caso de um movimento generalizado, a velocidade linear é substituída pela componente perpendicular a '''r''', temos.
:<math> \omega = {|\mathbf{v}_\perp| \over |\mathbf{r}|} \qquad \qquad (3)</math>
portanto, comocando as equações (2) e (3) juntas chegamos a
:<math> \omega = {|\mathbf{r} \times \mathbf{v}| \over |\mathbf{r}|^2} = |\boldsymbol\omega|. \qquad \qquad (4)</math>

A equação (4) nos dá a magnitude do vetor velocidade angular. A direção deste vetor é dada por sua versão normalizada:
:<math> \hat\boldsymbol\omega = {\mathbf{r} \times \mathbf{v} \over |\mathbf{r} \times \mathbf{v}|}. \qquad \qquad (5)</math>

Então o vetor velocidade angular completo é dado quando juntamos sua magnitude e sua direção:
:<math> \boldsymbol\omega = \omega \hat\boldsymbol\omega </math>
que, devido às equações (4) e (5), é igual a
:<math> \boldsymbol\omega = {\mathbf{r} \times \mathbf{v} \over |\mathbf{r}|^2}, </math>
que foi demonstrada anteriormente.

=={{Ver também}}==

* (Introdutório)
** [[Deslocamento]]
** [[Momento angular]]
** [[Aceleração angular]]
** [[Frequência angular]]
** [[Velocidade areal]]
** [[Movimento circular]]

* (Avançado)
** [[Isometria (transformação geométrica)|Isometria]]
** [[Grupo ortogonal]]
** [[Grupo de rotação]]

=={{Ligações externas}}==
* [http://math.ucr.edu/home/baez/classical/galilei2.pdf Rotations and Angular Momentum] on the Classical Mechanics page of [http://math.ucr.edu/home/baez/README.html the website of John Baez], especially Questions 1 and 2.

* Peter M. Neumann; Gabrielle A. Stoy; Edward C. Thompson. ''Groups and Geometry'', Oxford 1994, ISBN 01798534515. See pp. 108-110, 163-165 .

[[Categoria:Grandezas físicas]]

Velocidade angular - Histórico de revisões

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