Calimero0000: Criou nova página com 'Ilustração representando os termos envolvidos na Lei de Biot Savart A '''Lei de Biot-Savart''' é uma equação do Eletromagn...'

2013-06-03T11:29:36Z

Criou nova página com 'thumb|200px|Ilustração representando os termos envolvidos na Lei de Biot Savart A '''Lei de Biot-Savart''' é uma equação do Eletromagn...'

Página nova

[[Ficheiro:Biot Savart.svg|thumb|200px|Ilustração representando os termos envolvidos na Lei de Biot Savart]]
A '''Lei de Biot-Savart''' é uma equação do [[Eletromagnetismo]] que fornece o [[campo magnético]] <math>\mathbf{B}</math> gerado por uma [[corrente elétrica]] <math>\mathbf{I}</math> constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da [[Magnetostática]]. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida para a Magnetostática, tendo assim um papel semelhante à [[Lei de Coulomb]] na [[Eletrostática]].<ref name="Feynman"> Feynman et al. ''The Feynman Lectures on Physics vol. 2'', 2ª ed., editora Bookman, 2008.</ref>

== Motivação histórica ==
[[Ficheiro:Oersteds_experiment.png|thumb|270px|Ilustração esquemática do experimento de Oersted.]]
Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico [[Hans Christian Oersted]] a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno.

A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos [[Jean-Baptiste Biot]] e [[Félix Savart]], os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.<ref name="Whittaker">Whittaker, E. T, A History of the Theories of Aether and Electricity, 1910. </ref>

== A equação ==
=== Distribuições unidimensionais ===
Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma: 
<math> \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{I(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}dl'</math>

Nessa equação, <math>dl'</math> é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, <math>\mathbf{I}</math> é o vetor [[corrente elétrica]] e <math>\hat{\boldsymbol{\eta}}</math> é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento <math>dl'</math>, cuja posição é <math>\mathbf{r'}</math>, ao ponto de cálculo do campo <math>\mathbf{r}</math>:

<math>\hat{\boldsymbol{\eta}}=\frac{\eta}{|\hat{\boldsymbol{\eta}}|}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}</math>,

e a constante <math>\mu_{0}</math> é a chamada [[permeabilidade do vácuo|permeabilidade magnética do vácuo]]. 

=== Distribuições bidimensionais ===
Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente: 
<math> \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{K}\mathbf{(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}da' </math>

Onde <math>\mathbf{K}\mathbf{(r')}</math> é a ''corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo'', também chamada '''densidade superficial de corrente'''. Escreve-se: 
<math>\mathbf{K}\mathbf{(r')} = \frac{d\mathbf{I}}{dl_{\perp}}</math>

=== Distribuições tridimensionais ===
Para distribuições tridimensionais de corrente:
<math> \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{J(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}d\tau ' </math>

Onde <math>\mathbf{J}\mathbf{(r')}</math> é a ''corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo'', também chamada '''densidade volumétrica de corrente'''. Escreve-se:

<math>\mathbf{J}\mathbf{(r')} = \frac{d\mathbf{I}}{da_{\perp}}</math>

Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento <math>d\mathbf{l'}</math> deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área <math>d\mathbf{a'}</math> no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume <math>d\mathbf{\tau'}</math> no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.<ref name="Griffiths"> Griffiths, D. J., Eletrodinâmica p. xv, 3a ed Pearson Addison Wesley, 2011.</ref>

== Aplicações ==
=== Campo de uma corrente retilínea num fio condutor ===
[[Ficheiro:Fioinfinitoexemplo.png|thumb|Ilustração do problema]]
Podemos usar a Lei de Biot-Savart para achar o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade <math>I</math> passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto <math>P</math> a uma distância <math>R</math> do fio. Pela [[regra da mão direita]] vemos que o produto vetorial <math>d\mathbf{l}\times d\mathbf{\hat{r}}</math>, para <math>R</math> fixo, está contido em círculos de raio <math>R</math> em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por <math>\hat{\boldsymbol{\phi}}</math>. Trabalhando em termos do ângulo <math>\theta</math>:
<math>dl'\sin\alpha = dl'\cos\theta</math>

Como <math>l'= R\tan\theta</math>:
<math>dl'= \frac{R}{\cos^{2}\theta}d\theta</math>

E como <math>R=r\cos\theta</math>:
<math>\frac{1}{r^{2}}=\frac{\cos^{2}\theta}{R^{2}}</math>

Para um trecho de fio indo de <math>\theta_1</math> a <math>\theta_2</math>: 
<math>\mathbf{B(r)}=\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{\mu_{0}I}{4\pi }\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\left(\frac{\cos^{2}\theta}{R^{2}}\right)\left(\frac{R}{\cos^{2}\theta}\right)\cos\theta d\theta =\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\cos\theta d\theta=\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1})</math> 
Se o fio for infinito, então <math>\theta_{1}=-\frac{\pi}{2}</math> e <math>\theta_{2}=\frac{\pi}{2}</math> e a expressão fica apenas:
<math>\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R }\hat{\boldsymbol{\phi}}</math> <ref name="Moysés"> H. Moysés Nussenzveig, ''Curso de Física Básica 3'', 1ª ed., editora Blucher.</ref>

=== Campo no centro de um polígono de n lados ===
[[Ficheiro:SQUARE SHAPE.svg|thumb|Geometria de um quadrado]]
De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale:
<math>\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1})\mathbf{\hat{z}},</math>

já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo [[princípio de superposição]], o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados:
<math>\mathbf{B(\textrm{centro})}=\sqrt{2}\frac{\mu_{0}I}{\pi R}\mathbf{\hat{z}}</math>

onde <math>R</math> é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo <math>\theta_{1}=-\theta_{2}=-\frac{\pi}{n}</math>. Então obtemos:
<math>\mathbf{B}=n\frac{\mu_{0}I}{2\pi R }\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \mathbf{\hat z}</math> <ref name="Griffiths"/>

=== Campo de uma espira circular no eixo ===
[[Ficheiro:SpireCourant.svg|thumb|Campo de uma espira circular]]
Consideremos uma espira circular de raio <math>R</math> percorrida por uma corrente estacionária de intensidade <math>I</math>. Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância <math>z</math> do eixo. Lembrando que:
<math> \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{I}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}dl'</math>

No caso da espira circular:
<math> \eta=\sqrt{z^{2}+R^{2}}</math>

Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que:
<math>\sin\alpha=\frac{R}{r}=\frac{R}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}</math>

Logo:
<math>\mathbf{B}(\text{eixo})=\mathbf{\hat z}\frac{\mu_{0}}{4\pi }I\int\frac{ dl}{\eta^{2}}\sin\alpha =\mathbf{\hat z}\frac{\mu_{0}}{4\pi}I \frac{R}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}} \int dl=\frac{\mu_{0}}{2}I\frac{R^{2}}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}} \mathbf{\hat z}</math><ref name="Young"> H. D. Young & R. A. Freedman, Física III: Eletromagnetismo, 12ª. ed., editora Pearson, São Paulo, Brasil, 2009.</ref>

=== Direção das linhas de campo magnético ===
Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:
:<math>d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\mathbf{l}\times \hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}</math>

que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor <math>d\mathbf{l}\times \hat{\mathbf{r}}</math>, que é dada pela [[regra da mão direita]]. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.<ref name="Young"/>

== Ver também ==
* [[Eletromagnetismo]]
* [[Produto vetorial]]
* [[Integral de linha]]
* [[Campo magnético]]
* [[Potencial magnético]]

{{referências}}

{{Portal3|Física}}

{{DEFAULTSORT:Lei Biot Savart}}
[[Categoria:Eletromagnetismo]]

Lei de Biot-Savart - Histórico de revisões

Calimero0000: Criou nova página com 'Ilustração representando os termos envolvidos na Lei de Biot Savart A '''Lei de Biot-Savart''' é uma equação do Eletromagn...'