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2014-01-11T00:12:47Z

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No [[cálculo vetorial]] o '''gradiente''' (ou '''vetor gradiente''') é um vetor que indica o sentido e a direção de maior alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço. Possui diversas aplicações, desde o cálculo de [[derivada direcional|derivadas direcionais]] à maximização das mesmas.

Por exemplo, o gradiente do [[potencial eléctrico]] é o oposto do [[campo eléctrico]]. O gradiente da [[energia]] de campo é o oposto da [[força]] de campo.

==Definição==
[[Ficheiro:Gradient2.svg|thumb|Dois exemplos de gradiente. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.]]

O '''vector gradiente''' ou simplesmente '''gradiente''' de um [[campo escalar]] <math>f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math> é dado por:

:<math>\mbox{grad} \, f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right\rangle</math>

Em notação de soma de Euler temos que:

:<math>\mbox{grad} \, f = \sum^i \frac{\partial f}{\partial x_i} \hat e_i</math>

Já na [[Notação de Einstein|notação de soma de Einstein]] para o campo escalar φ:

:<math>\mbox{grad} \, \varphi = \partial_i \varphi \cdot \hat e_i</math>

O símbolo [[nabla]] foi introduzido por [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]] e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

:<math>\nabla \overrightarrow f (x_1, \dots, x_n) = \mbox{grad} \, f</math>

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

:<math>\nabla f = \mbox{grad} \, f =D_f</math>

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um [[campo vectorial]] obtemos um [[campo tensorial]].

===Exemplo===
Para a função <math>f \!\left( x, y, z \right) = 4x + 10y^2 - \sin z</math> temos <math>\nabla f = \left\langle 4, 20y, - \cos z \right\rangle</math> para todo <math>\left( x, y, z \right)</math>.

==Expressões==
Para todo campo escalar <math>f</math> diferenciável em função do espaço cartesiano <math>\vec x = \left\langle x, y, z \right\rangle</math> temos que:

:<math>\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle</math>

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

:<math>\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \vec x}</math>

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

:<math>\nabla f = \frac{df}{dx}</math>

==Propriedades==
===Linearidade===
O gradiente é [[transformação linear|linear]]:

:<math>\nabla \left( \alpha f + \beta g \right) = \alpha \nabla f + \beta \nabla g \qquad \left( \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}^2 \right)</math>

Onde <math>\mathbb{F}</math> é um [[Corpo (matemática)|corpo]] constante.

===Lei de Leibniz===
O gradiente segue as [[Lei de Leibniz]] na multiplicação:

:<math>\nabla \left( f \cdot g \right) = f \nabla g + g \nabla f</math>

E na divisão:

:<math>\nabla \left( f / g \right) = \frac{g \nabla f - f \nabla g}{g^2} \qquad \left( g \neq 0 \right)</math>

===Ortogonalidade às curvas de nível===
O vector gradiente sempre será ortogonal às [[curvas de nível]] (veja no artigo "[[Conjunto de nível]]").
Seja <math>f(x\,, y)</math> uma função definida em <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto <math>C: \{(x,y)\in D | f(x,y)=k \}</math> onde ''x'' e ''y'' são funções de um parâmetro ''t'' tal que <math>x(0)=x_{0}\,, y(0)=y_{0}</math>.

Então, temos:

<math>f(x(t)\,, y(t))=k</math> ''(diferenciando com relação a <var>t</var> pela [[regra da cadeia]])''

<math>\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=0</math>

A equação final pode ser interpretada como o [[produto escalar]] do gradiente de <var>f</var> por um vector tangente a <var>f</var> em <math>(x_{0}\,, y_{0})</math>, logo os dois são perpendiculares entre si.

===Teorema do gradiente===
O gradiente é revertido pelo [[integral de linha]] de acordo com o [[teorema do gradiente]], que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

:<math> \Delta f = f_Q - f_P = \int^{\gamma_Q}_{\gamma_P} \nabla f \cdot \vec{d\gamma}</math>

===Derivada direcional===
A [[derivada direcional]] é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um [[versor]] (no caso abaixo, <math>\hat u</math>).
:<math>\forall \hat u \quad D\!_{\hat u}\,f = \hat u \cdot \nabla f</math>

==Sistemas de coordenadas==
O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:
===Coordenadas cartesianas===
:<math>\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat e_x + \frac{\partial f}{\partial y} \hat e_y + \frac{\partial f}{\partial z} \hat e_z</math>

Para coordenadas espaciais x, y e z.

===Coordenadas cilíndricas circulares===
:<math>\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial \rho} \hat e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat e_\phi + \frac{\partial f}{\partial z} \hat e_z</math>

Onde <math>\rho </math> representa a distância ao eixo z, <math> \phi </math> é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

===Coordenadas esféricas===
:<math>\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat e_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \hat e_\theta + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat e_\phi</math>

Onde <math> r </math> representa a distância à origem, <math> \theta </math> é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e <math> \phi </math> é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

== Noção intuitiva de gradiente ==
O ''gradiente'' é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento<ref name="UEA">{{citar web|url=http://www.ebah.com.br/content/ABAAAADPUAI/calculo-ii|título=Cálculo II|autor=Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de|data=01/01/2007|publicado=Universidade do Estado do Amazonas|acessodata=11 de dezembro de 2011}}</ref>.

==Gradientes de tensão==

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos [[transiente]]s, os maiores causadores de danos em [[circuito]]s eletro-eletrônicos.

O retorno da [[energia elétrica]] numa [[linha de transmissão]] longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados [[harmônico]]s, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

{{Referências}}
==Fontes externas==
*''Cálculo'', George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, ([[2002]]).

=={{Ver também}}==
*[[Teorema do gradiente]]
*[[Divergente]]
*[[Rotacional]]
*[[Degradê]] (Arte)
*[[Laplaciano]]
*[[Nabla]]

{{esboço-matemática}}
{{portal3|matemática}}

[[Categoria:Cálculo vetorial]]
[[Categoria:Geometria diferencial]]

Gradiente - Histórico de revisões

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