Calimero0000: uma edição

2013-05-03T11:42:02Z

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'''Fidelidade''', ou '''função de fidelidade''', ou ainda '''função quântica de fidelidade''', em [[Física quântica|Teoria de informação quântica]], é u’a medida do "fechamento" (em [[Língua inglesa|inglês]], ''closeness'') de/entre dois estados quânticos. Não é [[medida]] no espaço de matrizes densidade. Costuma, quando não há possibilidade de confusão, ou se o assunto é tratado especifica e restritamente no domínio físico-químico quântico, ser reportada apenas por '''fidelidade''', a bem da simplicidade.

== Introdução ==
Em teoria de probabilidade, dadas duas variáveis aleatórias ''p'' = (''p''1...''pn'') e ''q'' = (''q''1...''qn'') no espaço de probabilidades ''X'' = {1,2...n}. A fidelidade de ''p'' e ''q'' é definida pela quantidade

:<math>F(p,q) = \sum _i \sqrt{p_i q_i}</math>.

Noutras palavras, a fidelidade ''F(p,q)'' é o produto escalar ou interno de <math>(\sqrt{p_1}, \cdots ,\sqrt{p_n})</math> e <math>(\sqrt{q_1}, \cdots ,\sqrt{q_n})</math> vistos como [[vetor]]es no [[Espaço euclidiano]]. Observe que, quando ''p'' = ''q'', ''F(p,q)'' = 1. Em geral, <math>0 \leq F(p,q) \leq 1</math>.

Fazendo-se as modificações apropriadas para a noção matricial de raiz quadrada, pode-se dizer que a definição acima fornece a função fidelidade de ''dois'' estados quânticos.

== Definição ==
Dadas duas [[matriz]]es densidade ''ρ'' e ''σ'', a '''função fidelidade''' é definida por:

:<math>F(\rho, \sigma) = \operatorname{Tr} (\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}).</math>

Por ''M''½ de u’a matriz positiva semidefinida ''M'', quer-se significar a unicidade da raiz quadrada dada pelo [[teorema espectral]]. O produto escalar ou interno euclidiano a partir da definição clássica é substituído pelo [[produto escalar]] de [[Operador de Hilbert-Schmidt|Hilbert-Schmidt]]. Quando se trata de estados clássicos, isto é, quando ''ρ'' e ''σ'' são comutativos, a definição dada coincide com aquela válida para função de densidade de probabilidade.

Observe-se, pela definição, que ''F'' é não-negativo, e ''F(ρ,ρ)'' = 1. Na seção seguinte será mostrado que ele não pode ser maior que 1.

== Exemplos simples ==
=== Estados puros ===
Considerem-se estados puros dados por:

<math>\rho = | \phi \rangle \langle \phi |</math> and <math>\sigma = | \psi \rangle \langle \psi |</math>. Sua fidelidade sera:

:<math>
F(\rho, \sigma) = \operatorname{Tr} [\rho \; \sigma \rho]^{\frac{1}{2}}

= \operatorname{Tr} \; [| \phi \rangle \langle \phi | \psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle \langle \phi | ]^{\frac{1}{2}}

= | \langle \phi | \psi \rangle |.
</math >

Isso é, algumas vezes, chamado ''superposição'' entre dois estados. Se — diga-se — <math>|\phi\rangle</math> é um eigen-estado de um observável, e o sistema é preparado em <math>| \psi \rangle</math>, então ''F(ρ, σ)''2 é a probabilidade do sistema estar no estado <math>|\phi\rangle</math> após a medida.

=== Estados comutativos ===
Sejam ρ e σ duas matrizes densidade comutativas. Assim, elas podem ser simultaneamente diagonalizadas por matrizes unitárias, de modo que se pode escrever:

:<math> \rho = \sum_i p_i | i \rangle \langle i |</math> e <math> \sigma = \sum_i q_i | i \rangle \langle i |</math>

para alguma base ortonormal <math>\{ | i \rangle \}</math>.

O cálculo direto mostra que a fidelidade é:

:<math>F(\rho, \sigma) = \sum_i \sqrt{p_i q_i}.</math>

Isso mostra que, heuristicamente, ''fidelidade de estados quânticos é uma extensão genuína da noção advinda da teoria de probabilidades''.

== Algumas propriedades ==
=== Invariância unitária ===
O cálculo direto mostra que a fidelidade é preservada por evolução unitária, isto é:

:<math>\; F(\rho, \sigma) = F(U \rho \; U^*, U \sigma U^*)</math>

para qualquer operador unitário ''U''.

=== [[Teorema de Uhlmann]] ===
Viu-se que, para dois estados puros, sua fidelidade coincide com a superposição. O [[teorema de Uhlmann]] estende ou generalize essa afirmação para estados mistos, em termos de suas purificações:

'''Teorema''' Sejam ρ e σ duas matrizes densidade agindo sobre '''C'''n. Seja ρ½ a raiz quadrada positiva única de ρ e

:<math>
| \psi _{\rho} \rangle = \sum_{i=1}^n \rho^{\frac{1}{2}} | e_i \rangle \otimes | e_i \rangle \in \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n
</math>

uma purificação quântica de ρ (logo {|''e''i >} é uma base ortonormal).

Então, a seguinte igualdade é válida:

:<math>F(\rho, \sigma) = \max_{|\psi_{\sigma} \rangle} | \langle \psi _{\rho}| \psi _{\sigma} \rangle |</math>

onde <math>| \psi _{\sigma} \rangle</math> é uma purificação de σ. Assim, em geral, a fidelidade é a máxima superposição entre as purificações.

'''Prova:'''
Uma prova simples pode ser apresentada como segue. Seja |Ω > o vetor

:<math>| \Omega \rangle= \sum | e_i \rangle \otimes | e_i \rangle</math>

e σ½ raiz quadrada positiva única de σ. Viu-se que, devido à liberdade unitária em fatorações de raiz quadrada e escolhidas bases ortonormais, uma purificação arbitrária de σ é da forma

:<math>| \psi_{\sigma} \rangle = ( \sigma^{\frac{1}{2}} V_1 \otimes V_2 ) | \Omega \rangle</math>

onde ''V''i's operadores unitários. Agora se calcula diretamente

:<math>
| \langle \psi _{\rho}| \psi _{\sigma} \rangle |

= \langle \Omega | ( \rho^{\frac{1}{2}} \otimes I) ( \sigma^{\frac{1}{2}} V_1 \otimes V_2 ) | \Omega \rangle

= \operatorname{Tr} ( \rho^{\frac{1}{2}} \sigma^{\frac{1}{2}} V_1 V_2 ).
</math>

Mas, em geral, para qualquer matriz quadrada ''A'' e unitária ''U'', é verdadeiro que |Tr(''AU'')| ≤ Tr (''A''*''A'')½. Ademais, igualdade é assegurada se ''U''* é o operador unitário na decomposição polar de ''A''. Resta, pois, demonstrado diretamente o [[teorema de Uhlmann]].

==== Consequências ====
Algumas consequências imediatas do [[teorema de Uhlmann]] são:
* Fidelidade é simétrica em seus argumentos, isto é ''F'' (ρ,σ) = ''F'' (σ,ρ). Observe-se, contudo, que isso não é óbvio a partir da definição.
* ''F'' (ρ,σ) falha in [0,1], de acordo com a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
* ''F'' (ρ,σ) = 1 se e somente se ρ = σ, desde que Ψρ = Ψσ implica ρ = σ.

== {{Bibliografia}} ==
* JOZSA, R. '''''Fidelity for mixed quantum states'''''. Journal of Modern Optics, 1994, vol. 41, 2315-2323.

{{DEFAULTSORT:Fidelidade Dos Estados Quanticos}}
[[Categoria:Mecânica quântica]]

Fidelidade dos estados quânticos - Histórico de revisões

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