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2013-09-11T10:41:08Z

Criou nova página com 'Em física, '''a equação de campo de Einstein''' ou a '''equação Einstein''' é uma equação na teoria da gravitação, chamada relatividade geral, que descr...'

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Em [[física]], '''a equação de campo de Einstein''' ou a '''equação Einstein''' é uma equação na teoria da gravitação, chamada [[relatividade geral]], que descreve como a [[matéria]] gera [[gravidade]] e, inversamente, como a gravidade afeta a matéria. A equação do campo de Einstein se reduz à lei de Newton da gravidade no limite não-relativista, isto é, à velocidades baixas e campos gravitacionais pouco intensos.

Na equação, a gravidade se dá em termos de um [[tensor métrico]], uma quantidade que descreve as propriedades geométricas do [[espaço-tempo]] tetradimensional. A matéria é descrita por seu [[tensor de energia-momento]], uma quantidade que contém a densidade e a pressão da matéria. Estes tensores são [[tensor simétrico|tensores simétricos 4 x 4]], de modo que têm 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem a 6. A força de acoplamento entre a matéria e a gravidade é determinada pela [[constante gravitacional universal]].

[[Ficheiro:Gravitation space source.png|right|thumb|200px|Uma analogia para a curvatura do espaço-tempo causada por uma massa]]

== Solução da equação de campo de Einstein ==

Uma solução da equação de campo de [[Einstein]] é certa métrica apropriada para a distribuição dada da massa e da pressão da matéria. Algumas soluções para uma situação física dada são com as que se seguem.

=== Distribuição de massa esférica simétrica e estática ===
[[Imagem:Schwarzschild interior.jpg|right|100px]]
A solução para o [[vazio]] ao redor de uma distribuição de massa esférica simétrica e estática é a [[métrica de Schwarzschild]] e [[métrica de Schwarzschild#forma da métrica|métrica de Kruskal-Szekeres]]. Se aplica a uma estrela e conduz à previsão de um [[horizonte de eventos]] além do qual não se pode observar. Prevê a possível existência de um [[buraco negro]] de massa dada <math>M</math> da qual não pode ser extraída nenhuma energia, no sentido clássico do termo (isto é, não é válido para o domínio da Mecânica Quântica - ver [[radiação de Hawking]]).
{{VT|Raio de Schwarzschild|Buraco negro de Schwarzschild}}

=== Massa de simetria axial em rotação ===

A solução para o espaço vazio ao redor de uma distribuição de massa de simetría axial em rotação é a [[métrica de Kerr]]. Se aplica a uma estrela que gire e conduz à previsão da existência possível de um buraco negro em rotação de massa dada <math>M</math> e momento angular <math>J</math>, do qual a energia rotacional pode ser extraída.

{{VT|Buraco negro em rotação}}

=== Universo isotrópico e homogêneo ===
[[Imagem:End of universe.jpg|thumb|275px|A [[geometria geral do universo]] é determinada de acordo com as [[equações de Friedmann]] e o [[parâmetro cosmológico Ômega]] se este é maior, menor ou igual a 1. De cima para baixo: um [[universo esférico ou fechado]] com curvatura positiva, um [[universo hiperbólico]] com curvatura negativa e um [[universo plano]] com curvatura nula.]]

A solução para um [[Universo]] isotrópico e homogêneo, totalmente com densidade constante e de uma pressão insignificante, é a [[Métrica de Friedmann-Robertson-Walker]]. Se aplica ao Universo em sua totalidade e conduz a diversos modelos de sua evolucão que predizem um Universo em expansão.

{{VT|Big Bang|Friedman-Lemaître-Robertson-Walker}}

== Forma matemática da equação do campo de Einstein ==

A equação do campo de Einstein descreve como o [[espaço-tempo]] se curva pela [[matéria]] e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à [[gravidade]].

A equação do campo se apresenta como se segue:

:<math>E_{ik} = 8 \pi {G \over c^4} T_{ik}</math>

onde o tensor <math>E_{ik} \ </math> é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do [[tensor métrico]] <math>g_{ik} \ </math>, e <math>T_{ik} \ </math> é o [[tensor de energia-momento]]. A constante de acoplamento se dá em termos de <math>\pi \ </math> é [[Pi]], <math>c \ </math> é a [[velocidade da luz]] e <math>G \ </math> é a [[constantes físicas|constante gravitacional]].

O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como

:<math>E_{ik} = R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} </math>

onde além disso <math>R_{ik}\ </math> é o [[tensor de curvatura de Ricci]], <math>R \ </math> é o [[escalar de curvatura de Ricci]] e <math>\Lambda \ </math> é a [[constante cosmológica]].

A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:

:<math>R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = 8 \pi {G \over c^4} T_{ik}</math>

<math>g_{ik} \ </math> é um [[tensor simétrico|tensor simétrico 4 x 4]], assim que tem 10 componentes independentes. Dada a libertade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.

Estas equações são a base da formulação matemática da [[relatividade geral]].

== Interpretacão geométrica da Equação de Einstein ==
A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a [[curvatura]] escalar <math>\kappa \ </math> do espaço é proporcional à densidade aparente <math>\rho \ </math> :

:<math>\kappa \ =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \ </math>

onde c = 3 × 1010 [cm s-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10-8 [cm³ s-2 g-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a

: <math>\Delta R = 3G\cdot c^{-2} M</math>

Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 [[centímetro|cm]] e no caso do [[Sol]] é de uns 500 metros.

É assombroso que esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da [[Física]] macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a [[Equação de Poisson]] e, portanto, o caráter atrativo das forças
gravitatocionais, as equações da mecânica dos fluidos ([[equação de continuidade]] e [[Equações de Euler (fluidos)|equações de Euler]]), as leis de [[Conservação da massa|conservação da massa-energia]] e do [[Quantidade de movimento|momento]], o caráter euclidiano do espaço, etc.

Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado [[comprimento de Planck]] ~
<math>10^{-33}</math> cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as [[equações de Maxwell]] e, portanto, a [[lei de Coulomb]], a [[carga eléctrica#Princípio de conservação da carga|Conservação da carga elétrica]] e a [[Força de Lorentz|lei de Lorentz]].

== Equações de Einstein-Maxwell ==

Se o tensor energia-momento <math>T_{\mu \nu}</math> é aquele de um [[campo eletromagnético]], ''i.e.'' se o [[tensor momento-energia eletromagnético]]

:<math>T_{ab} = \, -\frac{1}{\mu_0} ( F_{a}{}^{s} F_{sb} + {1 \over 4} F_{st} F^{st} g_{ab} )</math>

é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas ''equações Einstein-Maxwell'':

:<math>R_{ab} - {1 \over 2}R g_{ab} = \frac{8 \pi G}{c^4 \mu_0} (\, F_{a}{}^{s} F_{sb} + {1 \over 4} F_{st} F^{st} g_{ab}) \ </math>

==Ligações externas==
*[http://www.on.br/site_edu_dist_2006/pdf/modulo3/teoria_da_gravitacao_de_einstein.pdf A Teoria da Gravitação de Einstein - As equações de campo de Einstein: o trabalho do físico relativista - OBSERVATÓRIO NACIONAL - '''www.on.br''']

==Ver também}==
*[[Relatividade Geral]]
*[[Buraco Negro]]
*[[Singularidade gravitacional]]
*[[Equações de Friedmann]]

{{Einstein}}

[[Categoria:Relatividade geral]]

Equações de campo de Einstein - Histórico de revisões

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