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A '''Energia de Fermi''' é a [[energia]] do nível ocupado mais energético em um sistema [[física quântica|quântico]] [[férmion|fermiônico]] à temperatura de [[zero absoluto]]. A definição estende-se também a sistemas acima do zero absoluto, caso em que a energia de fermi corresponde à energia obtida mediante uma [[media ponderada|média]] das [[energia]]s dos níveis quânticos com [[probabilidade de ocupação]] - devido à [[energia térmica|agitação térmica]] - diferentes da unidade, cada qual ponderado pela respectiva probabilidade de ocupação. Associa-se via de regra à energia de fermi a notação ''EF'', e a nomenclatura retrata nítida homenagem ao físico ítalo-americano [[Enrico Fermi]].

== Introdução ==
=== Contexto geral ===

A energia de Fermi é importante na hora de entender o comportamento de partículas [[férmion|fermiônicas]], como por exemplo os [[elétron]]s. Os [[férmion]]s são partículas de [[spin]] semi-inteiro para as quais verifica-se a validade do [[princípio de exclusão de Pauli]] - que dita que dois férmions não podem ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico. Desta maneira, quando um sistema possui vários [[elétron]]s, estes ocuparão níveis de energia maiores a medida que os níveis inferiores estejam preenchidos.

A energia de Fermi é um conceito que tem muitas aplicações na teoria dos [[orbital|orbitais]], no comportamento dos [[semicondutor]]es e na [[física do estado sólido]] em geral.

Em física do estado sólido a superficie de Fermi é a superficie no [[Quantidade de movimento linear|espaço de momentos]] na qual a energia de excitação total se iguala à energia de Fermi. Esta superfície pode ter uma topologia não trivial. Simplificadamente se pode dizer que a superfície de Fermi divide os estados electrônicos ocupados dos que permanecem livres.

[[Enrico Fermi]] e [[Paul Dirac]], derivaram as [[Estatística de Fermi-Dirac|estatísticas de Fermi-Dirac]]. Estas estatísticas permitem predezer o comportamento de sistemas formados por um grande número de [[elétron]]s, especialmente em corpos sólidos.

A energia de Fermi de um [[gás de Fermi]] (ou ''gás de elétrons livres'') não relativista tridimensional se pode relacionar com o [[potencial químico]] através da equação:

:<math>\mu = \epsilon _F \left[ 1- \frac{\pi ^2}{12} \left(\frac{kT}{\epsilon _F}\right) + \frac{\pi^4}{80} \left(\frac{kT}{\epsilon _F}\right)^2 + ... \right] </math>

onde εF é a energia de Fermi, ''k'' é a [[constante de Boltzmann]] e ''T'' é a [[temperatura]]. Portanto, o potencial químico é aproximadamente igual a a energia de Fermi à temperaturas muito inferiores a uma energia característica denominada Temperatura de Fermi, ''εF''/''k''. Esta temperatura característica é da ordem de 105[[kelvin|K]] para um metal a uma temperatura ambiente de (300 K), pelo que a energia de Fermi e o potencial químico são essencialmente equivalentes. Este é um detalhe significativo dado que o potencial químico, e não a energia de Fermi, é quem aparece nas [[Estatística de Fermi-Dirac|estatísticas de Fermi-Dirac]].

=== Contexto avançado ===
[[Ficheiro:Energies in crystalline structures.png|thumb|right|300px|Principais energias em estrutura de bandas para sólidos cristalinos.]]

[[Elétron]]s são [[férmion]]s, ou seja, são partículas regidas pela [[estatística de Fermi]]. Nesta estatística, um dado [[estado quântico]] pode ser ocupado por no máximo um e não mais que um férmion, e portanto a máxima probabilidade de ocupação de um dado estado quântico é um. Os elétrons situados dentro da amostra estão confinados por um potencial atrativo exercido pelos [[íons]] positivos da rede. Conforme mostrado pela [[mecânica quântica]], potenciais confinantes apresentam níveis de energias discretos. No caso dos [[átomo]]s isto se reflete nos tão conhecidos [[níveis de energia|níveis atômicos de energia]] e no caso dos [[sólido]]s [[cristal]]inos, a aproximação entre os átomos leva a um agrupamento dos estados em [[Teoria de bandas|bandas de energia]]. Estas bandas são vistas nas [[relação de dispersão|relações de dispersão]] para os sólidos como sendo as regiões de energia permitidas para os elétrons, separadas umas das outras por janelas de energias proibidas (ou “[[gap]]s”).

Rigorosamente falando <ref> Para a presente definição de energia de Fermi e suas aplicações em física do estado sólido e em técnicas de análise como a [[Espectroscopia de fotoelétrons excitados por raios X]] consulte Carvalho, Lauro Chieza de - dissertação [http://www.fisica.ufmg.br/posgrad/Teses/Tesem/lauro-carvalho/disslaurochieza.pdf]</ref> , a energia do nível de Fermi é definida em sistemas à temperatura de zero absoluto. Nesse caso, a energia do nível de Fermi é a energia do nível mais energético ocupado, visto que nessa temperatura todos os níveis com energia menor que a energia do nível de Fermi estariam ocupados (probabilidade igual a 1) e todos os níveis com energia acima, desocupados (probabilidade de ocupação nula). Para sistemas em temperaturas não nulas, não temos mais uma transição abrupta da probabilidade de ocupação, e sim uma probabilidade dada pela [[distribuição de Fermi-Dirac]]. Considera-se então como a energia do nível de Fermi a energia obtida pela [[média ponderada|média aritmética ponderada]] das energias de cada estado energético afetado pela [[excitação térmica]] (estados com probabilidades de ocupação diferentes de 1 ou 0) pesadas cada qual pela respectiva [[probabilidade]] de ocupação do estado associado. O denominador desta média será obviamente o número de estados envolvidos no processo. Repare que em acordo com a estatística de Fermi, dentre os referidos estados os menos energéticos têm probabilidade de ocupação maior do que aqueles mais energéticos. Para [[gás de elétrons livres|aproximação de elétrons livres]] a densidade de estados cresce com a raiz quadrada da energia, resultando em uma parábola no gráfico de energia x densidade de estados. Em semicondutores e isolantes esta dependência pode ser bem mais complicada.

Outra definição equivalente implica dizer que a energia de Fermi corresponde ao [[potencial eletroquímico]] do sistema na temperatura de zero absoluto. Uma extensão a temperaturas maiores é evidente, e a energia de Fermi corresponde assim ao potencial eletroquímico do sistema na temperatura considerada. A energia de Fermi expressa, portanto, qual seria a variação da energia interna total do sólido, considerado sempre como [[sistema isolado]] e em [[equilíbrio termodinâmico]], caso um elétron fosse dele removido. Sendo ENtotal a energia total do sistema no estado [[carga elétrica|neutro]], em seu equilíbrio termodinâmico, e EN-1total a energia total do sistema também em seu novo equilíbrio termodinâmico mas após a remoção do elétron, temos que:

::EF = ENtotal - EN-1total

Nas definições acima, o nível de referência é o nível de menor energia disponível aos N elétrons, e a remoção de um elétron provoca, então, a redução da energia do sistema. Neste
referencial a energia de Fermi é, portanto, positiva, bem como o potencial eletroquímico.

Quando dois materiais diferentes são colocados em contato, a condição de equilíbrio termodinâmico exige que as suas ''energias de Fermi'' sejam iguais. Se as energias de Fermi fossem diferentes, a passagem de um elétron do sólido com maior energia de Fermi para o sólido com menor energia de Fermi resultaria em uma diminuição da energia total do sistema e o sistema composto não estaria, então, em sua configuração de equilíbrio, a de mínima energia, conforme exigido pelas leis da termodinâmica. Este fato dá origem a um fenômeno conhecido por [[diferença de potencial de contato]] que encontra diversas aplicações práticas, a saber na eletrônica de estado sólido ([[junção PN]]) e no uso do [[metal de sacrifício]] em navios.

== Ilustração do conceito para compartimento monodimensional quadrado ==

A monodimensional [[Partícula em uma caixa|compartimento quadrado infinito]] é um modelo para uma caixa mono dimensional. É um sitema modelo padrão em mecânica quântica para o qual a solução para uma partícula isolada é bem conhecido. Os níveis são marcados por um único número quântico ''n'' e as energias são dadas por

:<math>E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} n^2 \,</math>.

Suponha-se agora que em vez de uma partícula nesta caixa nós temos N partículas na caixa e que estas partículas são férmions com [[spin 1/2]]. Então somente duas partículas podem ter a mesma energia i.e. duas partículas podem ter a energia de <math>E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}</math>, ou duas partículas podem ter energia <math>E_2=4 E_1</math> e assim por diante. A razão que duas partículas podem ter a mesma energia é que uma partícula de spin 1/2 pode ter um spin de 1/2 (spin "acima") ou um spin de -1/2 (spin "abaixo"), conduzindo a dois estadois para cada nível de energia. Quando nós olhamos na energia total deste sistema, a configuração para as quais a energia total é a menor (o estado fundamental), é a configuração onde todos os níveis de energia acima de n=N/2 estão ocupados e todos os níveis mais altos estão vazios. A energia de Fermi é consequentemente

:<math>E_f=E_{N/2}=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} (N/2)^2 \,</math>.

== O caso tridimensional ==

O caso tridimensional [[isotrópico]] é conhecido como a '''esfera de Fermi'''.

Deixe-nos agora considerar uma caixa cúbica tridimensional que tem um lado de comprimento ''L'' (ver [[compartimento quadrado infinito]]). Este torna-se uma muito boa aproximação para descrever elétrons em um metal.

Os estados agora são marcados po três números quânticos nx, ny, e nz. As energias da partícula isolada são

::<math>E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right) \,</math>

::nx, ny, nz são inteiros positivos.

Existem múltiplos estados com a mesma energia, por exemplo <math>E_{100}=E_{010}=E_{001}</math>. Agora deixemos colocar-se N férmions não interativos de ''spin'' 1/2 nesta caixa. Para calcular a energia de Fermi, nós veremos no caso de que N é grande.

Se nós introduzios um vetor <math>\vec{n}=\{n_x,n_y,n_z\}</math> rntão cada estado quântico corresponde a um ponto num "n-espaço" com energia

:<math>E_{\vec{n}} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} |\vec{n}|^2 \,</math>

O número de estados com energia menor que Ef é igual ao número de estados que residem em uma esfera de raio <math>|\vec{n}_f|</math> na região do "n-espaço" onde nx, ny, nz são positivos. No estado básico este número iguala o número de férmions no sistema.

:<math>N =2\times\frac{1}{8}\times\frac{4}{3} \pi n_f^3 \,</math>

[[Imagem:Fermi energy momentum.svg|thumb|Os três férmions que ocupam os mais baixos estados de energia formam uma [[esfera]] em espaço de [[momento]]. A superfície desta esfera é a [[superfície de Fermi]].]]

o fator é de dois é novamente porque são doisestados de ''spin'', o fator de 1/8 é porque somente 1/8 da esfera repousa na região onde todos n são positivos.

Nós obtemos

:<math>n_f=\left(\frac{3 N}{\pi}\right)^{1/3} </math>

então a energia de Fermi é dada por

:<math>E_f =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} n_f^2 </math>

::<math> = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( \frac{3 N}{\pi} \right)^{2/3}</math>

Tais resultados em uma relação entre a energia de Fermi e o número de partículas por volume (quando nós substituímos L2 com V2/3):

::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>E_f = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{3 \pi^2 N}{V} \right)^{2/3} \,</math>
|}

A energia de Fermi total de um esfera de fermi de <math>N_0</math> férmions é dada por

:<math>E_t = {\int_0}^{N_0} E_f(N) dN = {3\over 5} N_0 E_f</math>

:<math>E_t = {\int_0}^{N_0} E_f(N) dN = {\int_0}^{N_0} \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( \frac{3 N}{\pi} \right)^{\frac{2}{3}} dN</math>

::<math> = \frac{3^{\frac{2}{3}} \pi^{\frac{4}{3}} \hbar^2}{2m L^2} {\int_0}^{N_0} N^{\frac{2}{3}} dN = \frac{3^{\frac{2}{3}} \pi^{\frac{4}{3}} \hbar^2}{2m L^2} \left( \frac{3}{5} N_0^{\frac{5}{3}} \right) = \frac{3^{\frac{5}{3}} \pi^{\frac{4}{3}} \hbar^2}{10 m L^2} N_0^{\frac{5}{3}}</math>

Energia de Fermi total:

::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>E_t = \frac{3^{\frac{5}{3}} \pi^{\frac{4}{3}} \hbar^2}{10 m L^2} N_0^{\frac{5}{3}}</math>
|}

Integração por substituição:

:<math>E_t = \frac{3}{5} N_0 E_f = \frac{3}{5} N_0 \left[ \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left(\frac{3 N_0}{\pi}\right)^{2/3} \right] = \frac{3^{\frac{5}{3}} \pi^{\frac{4}{3}} \hbar^2}{10 m L^2} N_0^{\frac{5}{3}}</math>

::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>E_t = \frac{3}{5} N_0 E_f</math>
|}

A eliminação de <math>L</math> em favor de <math>V</math>:

:<math>L^2 = V^{\frac{2}{3}}</math>

::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>E_t = \frac{3^{\frac{5}{3}} \pi^{\frac{4}{3}} \hbar^2 N_0^{\frac{5}{3}}}{10 m V_0^{\frac{2}{3}}}</math>
|}

== Energias de Fermi típicas==
=== Anãs brancas ===

Estrelas conhecidas como [[anã branca|anãs brancas]] tem massa comparável a nosso [[Sol]], mas têm um raio aproximadamente 100 vezes menor. As alta densidades implicam que os elétrons estão não mais ligados a um núcleo isolado e formam um [[gás de elétrons]] [[matéria degenerada|degenerado]]. Os números da densidade de elétrons em uma anã branca são da ordem de 1036 elétrons/m3. Isto significa que sua energia de Fermi é:

::<math>E_f = \frac{\hbar^2}{2m_e} \left( \frac{3 \pi^2 (10^{36})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 3 \times 10^5 \ \mathrm{eV} \,</math>

=== Núcleos ===

Outro exemplo típico é as partículas em um núcleo de um átomo. Os [[núcleon]]s de um [[núcleo atômico]] pode ser tratado, assim, como um [[G%C3%A1s_Fermi#G.C3.A1s_de_Fermi_como_modelo_para_os_n.C3.BAcleos_dos_.C3.A1tomos|gás de Fermi]] e como tal, modelado.<ref>Theoretical Nuclear Physics. John M. Blatt and Victor F. Weisskopf. New York: Wiley; London: Chapman & Hall, 1952.</ref>

O [[dimensão do núcleo atômico|raio do núcleo]] é aproximadamente<ref>[http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/zimmer/NuclPartPhys/NuclPartPhys08Ch08.pdf 8. Models of the nucleus - 8.1 Fermi-gas model - '''www.e18.physik.tu-muenchen.de'''] {{en}}</ref>:

::<math>R = \left(1.25 \times 10^{-15} \mathrm{m} \right) \times A^{1/3}</math>

:onde ''A'' é o número de [[núcleon]]s.

O número densidade de núcleons em um núcleo é conseqüentemente:

::<math>n = \frac{A}{\begin{matrix} \frac{4}{3} \end{matrix} \pi R^3 } \approx 1.2 \times 10^{44} \ \mathrm{m}^{-3} </math>

Agora, como a energia de fermi somente aplica-se a férmions de mesmo tipo, deve-se dividir esta energia por dois. Isto por causa da presença de [[nêutron]]s que não afetam a energia de Fermi dos [[próton]]s no núcleo, e ''vice versa''<ref>[http://w3.ualg.pt/~arodrig/Documentos/InfPagina/fancap8b.DOC Física Atómica e Nuclear – Capítulo 8. Modelos Nucleares - '''w3.ualg.pt''']</ref><ref>[http://www.phy.uct.ac.za/courses/phy300w/np/ch1/node61.html The Fermi gas model - '''www.phy.uct.ac.za'''] {{en}}</ref><ref>[http://physics.valpo.edu/courses/p430/ppt/FGM.pdf Fermi Gas Model - '''physics.valpo.edu'''] {{en}}</ref>.

Assim a energia de fermi de um núcleo é dada por:

::<math>E_f = \frac{\hbar^2}{2m_p} \left( \frac{3 \pi^2 (6 \times 10^{43})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 30 \times 10^6 \ \mathrm{eV} = 30 \ \mathrm{MeV} </math>

O raio do núcleo admite desvios em torno do valor mencionado acima, então um típico valor para a energia de Fermi normalmente dada é 38 [[MeV]].

== Nível de Fermi ==

{{Em tradução|data=Março de 2008}}

== Referências ==

<references/>
*{{cite book | author=Kroemer, Herbert; Kittel, Charles | title=Thermal Physics (2nd ed.) | publisher=W. H. Freeman Company | year=1980 | id=ISBN 0-7167-1088-9}}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tables/fermi.html Tabela das energias de Fermi, velocidades, e temperaturas para vários elementos]. {{en}}
* [http://physicsweb.org/articles/world/15/4/7 uma discussão sobre gases de fermi e temperaturas de Fermi]. {{en}}

==Bibliografia==
* Carvalho, Lauro Chieza de - Estudo das Estruturas [[ferro|Fe]]:[[arsenieto de gálio|GaAs]] e Fe:[[césio|Cs]]:GaAs por [[Espectroscopia de fotoelétrons excitados por raios X|Espectroscopia de Fotoelétrons Excitados por Raios X]] - [[Universidade Federal de Minas Gerais]] - ICEx - 11 de julho de 2005 [http://www.fisica.ufmg.br/posgrad/Teses/Tesem/lauro-carvalho/disslaurochieza.pdf].

== Ver também ==

* [[Gás Fermi]]
* [[Semicondutor]]
* [[Engenharia eléctrica]]
* [[Eletrônica]]
* [[Termodinâmica]]
* [[Diferença de potencial de contato]]
* [[Espectroscopia de fotoelétrons excitados por raios X]]
* {{Energias fisico-químicas}}

{{esboço-física}}

[[Categoria:Mecânica quântica]]
[[Categoria:Termodinâmica]]
[[Categoria:Física da matéria condensada]]

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