Calimero0000: uma edição

2013-05-03T11:41:06Z

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Em [[Física]], '''Efeito Compton''' ou o '''Espalhamento de Compton''', é a diminuição de [[energia]] (aumento de [[comprimento de onda]]) de um [[fóton]] de [[raio-X]] ou de [[raio gama]], quando ele interage com a [[matéria]]. '''Espalhamento Inverso de Compton''' também existe, onde o fóton ganha energia (diminuindo o comprimento de onda) pela interação com a matéria. O comprimento de onda aumentado ou diminuído no total é denominado '''variação de Compton'''. Entretanto, o espalhamento nuclear de Compton existe, que é a interação envolvendo apenas elétrons de um átomo. O Efeito Compton foi observado por [[Arthur Holly Compton]] em [[1923]], pelo qual fez ele receber o [[Nobel de Física|Prêmio Nobel de Física]] em [[1927]].

O efeito é importante porque ele demonstra que a luz não pode ser explicada meramente como um fenômeno ondulatório. O espalhamento de Thomson, a clássica teoria de partículas carregadas espalhadas por uma onda eletromagnética, não pode explicar alguma variação no comprimento de onda. A luz deve agir como se ela consistisse de partículas como condição para explicar o espalhamento de Compton. O experimento de Compton convenceu os físicos de que a luz pode agir como uma corrente de partículas cuja energia é proporcional à frequência.

A interação entre a alta energia dos fótons e elétrons resulta no elétron recebendo parte da energia (fazendo-o recuar), e um fóton contendo a energia restante sendo emitida numa direção diferente da original, sempre conservando o momentum total do sistema. Se o fóton ainda possui bastante energia, o processo pode ser repetido.

O espalhamento de Compton ocorre em todos os materiais e predominantemente com fótons de média-energia (entre 0.5 e 3.5 MeV). Ele é também observado com fótons de alta-energia; fótons de luz visível ou de frequências mais altas, por exemplo, possuem energia suficiente para expelir os elétrons saltados do átomo ([[efeito Fotoelétrico]]).

== Fórmula da Variação de Compton ==

Compton usou uma combinação de três fundamentais fórmulas representando os diversos aspectos da física clássica e moderna, combinando-os para descrever o procedimento quântico da luz.

* Luz como uma partícula;
* Dinâmica Relativística;
* Trigonometria.

O resultado final nos dá a '''Equação do Espalhamento de Compton''':
:<math> \lambda_2 = \frac{h}{m_e c}(1-\cos{\theta}) + \lambda_1 </math>
onde
:<math>\lambda_1 </math> é o comprimento de onda do fóton '''antes''' do espalhamento,
:<math>\lambda_2 </math> é o comprimento de onda do fóton '''depois''' do espalhamento,
:''me'' é a massa do elétron,
:''h/(mec)'' é conhecido como o [[comprimento de onda de Compton]],
:''θ'' é o ângulo pelo qual a direção do fóton muda,
:''h'' é a [[constante de Planck]], e
:''c'' é a [[velocidade da luz]] no vácuo.

Coletivamente, o comprimento de onda de Compton é 2.43×10-12 m.

=== Dedução ===
Nós usamos que:
:<math>E_{\gamma} + E_{e} = E_{\gamma'} + E_{e'}\,</math>
(Conservação de energia, onde <math>E_{\gamma}</math> é a energia do fóton antes da colisão e <math>E_e</math> é a energia do elétron antes da colisão - sua massa de repouso). As variáveis com apóstrofe são usadas por estas depois da colisão.

E:
:<math>\vec p_{\gamma} + \vec{p_{e}} = \vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{e'}}\,</math>
(Conservação de momentum, com o <math>p_e=0</math> porque nós assumimos que o elétron está em repouso.)

Nós então usamos <math>E = hf = pc</math>:
:<math>\vec{p_{e'}} = \vec{p_{\gamma}} - \vec{p_{\gamma'}}\,</math>
:<math>{\vec{p_{e'}}}^2 = {(\vec{p_{\gamma}} - \vec{p_{\gamma'}})}^2</math>
:<math>{\vec{p_{e'}}}^2 = \vec{p_{\gamma}}^2 - 2\cdot\vec{p_{\gamma}}\cdot\vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{\gamma'}}^2</math>
:<math>\vec{p_{e'}} \cdot \vec{p_{e'}} = \vec{p_{\gamma}} \cdot \vec{p_{\gamma}}- 2\cdot\vec{p_{\gamma}}\cdot\vec{p_{\gamma'}} +

\vec{p_{\gamma'}} \cdot \vec{p_{\gamma'}}</math>
:<math>{p_{e'}}^2 \cdot \cos(0) = p_{\gamma}^2 \cdot \cos(0) - 2 \cdot p_{\gamma} \cdot p_{\gamma'} \cdot \cos(\theta) + p_{\gamma'}^2\cdot

\cos(0)</math>
O termo <math>\cos(\theta)</math> aparece porque o momentum está em vetores espaciais, todos do qual ficam em um plano singular 2D, portanto o seu produto escalar é o produto de suas normas multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Substituindo <math>p_{\gamma}</math> por <math>\frac{hf}{c}</math> e <math>p_{\gamma'}</math> por <math>\frac{hf'}{c}</math>, nós obtemos
:<math>p_{e'}^2 = \frac{h^2 f^2}{c^2} + \frac{h^2 f'^2}{c^2} - \frac{2h^2 ff'\cos{\theta}}{c^2}</math>

Agora nós completamos a parte da energia:
:<math>E_{\gamma} + E_{e} = E_{\gamma'} + E_{e'}\,</math>
:<math>hf + mc^2 = hf' + \sqrt{(p_{e'}c)^2 + (mc^2)^2}\,</math>

Nós resolvemos esta por pe':
:<math>(hf + mc^2-hf')^2 = (p_{e'}c)^2 + (mc^2)^2\,</math>
:<math>\frac{(hf + mc^2-hf')^2 -m^2c^4}{c^2}= p_{e'}^2\,</math>

Então nós temos duas equações por <math>p_{e'}^2</math>, da qual nós igualamos:
:<math>\frac{(hf + mc^2-hf')^2 -m^2c^4}{c^2} = \frac{h^2 f^2}{c^2} + \frac{h^2 f'^2}{c^2} - \frac{2h^2 ff'\cos{\theta}}{c^2}</math>

Agora é apenas uma questão de reescrever:
:<math>h^2f^2+h^2f'^2-2h^2ff'+2h(f-f')mc^2 = h^2f^2+h^2f'^2-2h^2ff'\cos{\theta}\,</math>

:<math>-2h^2ff'+2h(f-f')mc^2 = -2h^2ff'\cos{\theta}\,</math>
:<math>hff'-(f-f')mc^2 = hff'\cos{\theta}\,</math>
:<math>hff'(1-\cos{\theta}) = (f-f')mc^2\,</math>

:<math>h\frac{c}{\lambda'}\frac{c}{\lambda}(1-\cos{\theta}) =\left(\frac{c}{\lambda}-\frac{c}{\lambda'}\right)mc^2</math>

:<math>h\frac{c}{\lambda'}\frac{c}{\lambda}(1-\cos{\theta}) =

\left(\frac{c\lambda'}{\lambda\lambda'}-\frac{c\lambda}{\lambda'\lambda}\right)mc^2</math>

:<math> h(1-\cos{\theta}) =

\frac{\lambda'}{c}\frac{\lambda}{c}\left(\frac{c\lambda'}{\lambda'\lambda}-\frac{c\lambda}{\lambda\lambda'}\right)mc^2</math>

:<math>h(1-\cos{\theta}) = \left(\frac{\lambda'}{c}-\frac{\lambda}{c}\right)mc^2</math>

:<math>\frac{h}{mc}(1-\cos{\theta}) =\lambda'-\lambda</math>

=== Dedução Alternativa ===
Consideremos a situação ilustrada na Fígura abaixo, onde um feixe de fótons incide em um elétron '''e-''' inicialmente em repouso, após a colisão, elétron e fóton são espalhados sob ângulos <math>\theta</math> e <math>\phi</math> respectivamente.

[[Ficheiro:Compton.JPG]]

A conservação do momento linear na '''direção vertical''' nos diz

:<math> \begin{matrix} \underbrace{ p_e + p_f } \\ Antes \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{ p_e + p_f } \\ Depois \end{matrix}

\Rightarrow 0 = - p_{e}\sin{ \phi} + p_{f}\sin{\theta} </math>
Assim

:<math>\sin{\phi }= {p_{f} \over p_{e}}\sin{\theta}</math>

A conservação do momento linear na '''direção horizontal''' nos diz:

:<math> \begin{matrix} \underbrace{ p_e + p_f } \\ Antes \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{ p_e + p_f } \\ Depois \end{matrix} \Rightarrow p_{0f} + 0 = p_{f}\cos{\theta} + p_{e}\cos{\phi } </math>

A partir da equação conservação do momento na direção vertical, sabemos que

:<math>\cos{\phi}=\sqrt[2]{1-\sin^2{\phi}}= \sqrt[2]{ {p_{e}}^2-{p_{f}}^2\sin^2{\theta} \over {p_{e}}^2 }</math>.

Assim

::<math> p_{0f} = p_{f}\cos{\theta} + p_{e}\sqrt[2]{ {p_{e}}^2-{p_{f}}^2\sin^2{\theta} \over {p_{e}}^2 } \Rightarrow p_{0f}=p_{f}\cos{\theta}+\sqrt[2]{{p_{e}}^2-{p_{f}}^2\sin^2{\theta}}
</math>

Sabemos que <math>p_{0f}= {E_0 \over c} </math> e <math>p_{f}= {E \over c} </math> onde c é a velocidade da luz no vácuo e <math>E_0</math> e <math>E</math> são as energias do fóton antes e após a colisão, respectivamente.

Assim

:: <math> {E_0 \over c} = {E \over c} \cos{\theta}+{ \sqrt[2]{ {p_{e}}^2{c}^2- {E^2}\sin^2{\theta}} \over c} \Rightarrow
{p_{e}}^2{c}^2 = {E^2}+{E_0}^2 - 2E{E}_0\cos{\theta}

</math>

Usaremos agora a conservação da energia

:<math> \begin{matrix} \underbrace{ E_e + E_0 } \\ Antes \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{ E_e + E_f } \\ Depois \end{matrix} \Rightarrow {m_e}c^2 + E_o = E + \sqrt[2]{ {m_e}^2c^4 + {p_e}^2c^2 }, </math>

Substituindo o último resultado pbtido a partir da conservação do momento linear, obtemos:

:<math> {m_e}c^2 + E_o = E + \sqrt[2]{ {m_e}^2c^4 + {E^2}+{E_0}^2 - 2E{E}_0\cos{\theta}
} \Rightarrow -2E{E}_0 + 2{m_e}c^2(E_o - E) = - 2E{E}_0\cos{\theta},
</math>
Resolvendo essa equação para E temos

::<math> E = {1 \over {(1-\cos{\theta}) \over {m_e}c^2 } +{1 \over E_o }} \Rightarrow {1 \over E }= {(1-\cos{\theta}) \over {m_e}c^2 } +{1 \over E_o } ,
</math>

Sabemos que
::<math> E = h\nu = {hc \over \lambda } </math>

Então chegamos assim ao resultado desejado

::<math> {\lambda \over hc } = {(1-\cos{\theta}) \over {m_e}c^2 } +{\lambda_0 \over hc } \Rightarrow \lambda - \lambda_0 = {h \over {m_e}c }(1-\cos{\theta}) </math>

Onde a quantidade <math>{h \over {m_e}c} </math>
é chamada de comprimento de onda Compton do elétron.

== Referências Bibliográficas ==
* GRIFFTHS,D. J. Introduction to Electrodynamics,3ª edição,Cap.12,1999.

== Ver também ==

[[Espectroscopia de fotoelétrons excitados por raios X#Cristais, fônons e fotoelétrons|Fotoemissão em cristais]]

[[Efeito Fotoelétrico]]

[[Categoria:Mecânica quântica]]
[[Categoria:Óptica]]

Efeito Compton - Histórico de revisões

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