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2013-06-11T21:16:37Z

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'''Ângulo''' é a região de um plano concebida pelo encontro de duas [[semirreta]]s que possuem uma origem em comum, chamada [[vértice]] do ''ângulo''<ref name="SERCOM">{{citar livro|url=http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm|título=Ensino Fundamental: Geometria: Ângulos|último=Viana|primeiro=Giovana K. A. M|coautor=Toffoli, Sônia F. L.; Sodré, Ulysses|data=24 de março de 2005|publicado=Planeta Sercomtel|língua3=pt|acessodata=11 de janeiro de 2012}}</ref>. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em [[radiano]]s ou [[Grau (geometria)|grau]]s. Ângulo é um dos [[Fundamentos da matemática|conceitos fundamentais da matemática]], ocupando lugar de destaque na [[Geometria euclidiana]], ao lado de [[Ponto (matemática)|ponto]], [[reta]], [[Plano (geometria)|plano]], [[triângulo]], [[quadrilátero]], [[polígono]] e [[perímetro]]<ref name="BRESC">{{citar web|url=http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-plana.htm|título=Geometria Plana|publicado=Brasil Escola|língua3=pt|acessodata=11 de janeiro de 2012}}</ref>.

== Elementos conceituais, componentes e aplicações do ângulo ==
O principal ramo da [[matemática]] que se relaciona com o conceito de ''ângulo'' é a [[trigonometria]]. Além das [[funções trigonométricas]], as principais [[função matemática|funções]] (ou [[operação (matemática)|operações]]) com ângulos são a [[Soma (aritmética)|soma]], a [[subtração]] e a [[multiplicação]] por um [[número]]<ref name="KLEDU">{{citar web|url=http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-92-923-,00.html|título=Como representar os movimentos de inclinação no mundo?|data=1 de janeiro de 2006|publicado=Click Educação|língua3=pt|acessodata=11 de janeiro de 2012}}</ref>.

''Semirretas'' são os lados do ângulo. ''Origem'' ou ''vértice'' é o ponto onde as duas semirretas se encontram. ''Bissetriz'' é a semirreta com origem no [[vértice]] desse ângulo dividindo-o ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns.

Também é muito notória a conceituação dos números [[número pi|pi]] e [[número de euler|e]], ambas usadas nas operações e funções com ângulos.

Já na [[matemática aplicada]] é muito comum o uso de ângulos. Exemplos de ramos do [[conhecimento]] em que isto ocorre são a [[cartografia]], a [[geografia]], a [[engenharia]], a [[física]], a [[química]], a [[biologia]], vários ramos da [[medicina]], como a [[ortopedia]], a [[odontologia]], a [[astronomia]], a [[aviação]].

Embora o senso comum preveja apenas ângulos [[Número positivo|positivo]]s, a matemática admite a existência de ângulos [[Número negativo|negativo]]s, ou seja, ângulos têm ''sinal''. Tal questão é importante mormente no tratamento de [[Vetor (matemática)|vetores]] na ''forma polar'', em alternativa à ''forma cartesiana''.

Do mesmo modo, é definida na ''convenção matemática'' a noção de ''ângulos entre [[curvas]]'', como sendo o ângulo entre as retas [[tangente]]s no ponto de [[interseção]] .

== Unidades de medidas para ângulos ==
A ''medida em [[radiano]]s'' de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo<ref name="UFBA">{{citar web|url=http://www.fund198.ufba.br/trigo-pa/4grrad.pdf|título=Medidas de ângulos de Arcos|publicado=Fundamentos de Matemática Elementar, Universidade Federal da Bahia|língua3=pt|acessodata=11 de janeiro de 2012}}</ref>. O [[Sistema Internacional de Unidades|SI]] utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. [[Seno]]s e [[co-seno]]s cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base [[Número de Euler|e]].

A ''medida em [[Grau (geometria)|graus]]'' de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito '''°'''. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.

O ''gradiano'', também chamado de [[Grado (ângulo)|grado]], é uma medida angular na qual o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais em [[triangulação]].

O ''ponto'' é usado em [[navegação]], e é definido como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.

O ''círculo completo'' ou ''volta completa'' representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.

O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

== Medindo ângulos ==
[[Imagem:Angle measure.svg|direita|thumb|180px|O ângulo <var>θ</var> é o quociente de <var>s</var> por <var>r</var>.]]

Para medir um ângulo <var>θ</var>, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco <var>s</var> é então dividido pelo raio do círculo <var>r</var>, e multiplicado por uma variavel <var>k</var>, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, <math>k \approx 57.29577951^\circ</math>.

:<math> \theta = \frac{s}{r}(k). </math>

Cabe mencionar que valor de <var>θ</var> é independente do tamanho do círculo (a proporção ''s''/''r'' é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

== Classificações dos ângulos ==
=== Quanto à medida ===
[[Imagem:Angolo acuto.png|thumb|100px|Ângulo agudo.]]
[[Imagem:Angolo retto.png|thumb|100px|Ângulo reto.]]
[[Imagem:Angolo ottuso.png|thumb|100px|Ângulo obtuso.]]
[[Imagem:Angolo piatto.png|thumb|100px|Ângulo raso.]]
[[Imagem:Angolo giro.png|thumb|100px|Ângulo giro ou ângulo completo.]]

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:

''Nulo'': um ângulo nulo mede 0°;
''agudo'': ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;
''[[Ângulo recto|reto]]'': um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os seus lados estão localizados em [[retas perpendiculares]];
''obtuso'': é um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°;
''raso'': ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas;
''[[Ângulo côncavo|côncavo]]'' ou ''reentrante'': ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;
''giro'' ou ''completo'': ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta).

O ângulo reto (90°) é um dos ângulos mais notórios e utilizados, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como, aproximadamente, no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc..

Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. A volta completa coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°). Tal identificação se assemelha à do ''ângulo negativo'' com o ângulo positivo que tem como medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.

''Ângulos Consecutivos'': dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo; ''ângulos adjacentes'': Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum; ''ângulos opostos pelo vértice'': Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

=== Quanto a complementações ===
[[Imagem:Complement angle.svg|thumb|134px|Ângulos complementares <var>a</var> e <var>b</var> (<var>b<var> é o complemento de <var>a</var>, e <var>a<var> é o complemento de <var>b</var>).]]
[[Imagem:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|241px| Os ângulos <var>a</var> e <var>b</var> são suplementares; <var>a</var> é agudo e <var>b</var> é obtuso.]]

''Ângulos complementares'': dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

''Ângulos suplementares'': dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.

''Ângulos replementares'': dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

''Ângulos explementares'': Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.

== Histórico ==
[[Euclides]] definiu um ''ângulo plano'' como a [[inclinação]] entre duas linhas que se encontram em um mesmo [[plano (geometria)|plano]]. De acordo com [[Proclus]], um ângulo deve ser uma [[quantidade]], [[qualidade]] ou [[relação (matemática)|relação]]. O primeiro conceito (quantidade) foi usado por ''Eudemus'', que via o ângulo como desvio de uma linha reta. O segundo conceito (qualidade) foi usado por ''Carpus de Antioch'', que o via como intervalo ou espaço entre linhas intersecantes. Euclides adotou o terceiro conceito, no entanto, sua definição de ângulo reto, agudo e obtuso era claramente quantitativa.<ref name="HARV">{{citar livro|primeiro=Johan Ludvig |último=Heiberg|ano=1908|título=Euclid|volume=1|editora=Cambridge University Press|língua3=en|url=http://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ}}</ref>

Um dos conhecidos ''três problemas clássicos da matemática grega'' foi o da [[trissecção do ângulo]]<ref name="BIEN">{{citar web|url=http://www.bienasbm.ufba.br/M20.pdf|título=Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega|autor=Carvalho, João Pitombeira de|publicado=Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática|língua3=pt|acessodata=12 de janeiro de 2012}}</ref>.

O ''[[Principia mathematica]]'', um compêndio que tentou demonstrar do início os [[fundamentos da matemática]], tinha um quarto volume previsto, especialmente para a ''geometria'', mas que nunca foi realizado.

== Significações derivadas ==
Existem vários significados para a palavra ''ângulo'', todos eles derivadas da sua significação matemática, como [[ponto de vista]], [[imagem]] que se vê através de uma [[lente]] e [[esquina]]<ref name="AUR">{{citar livro|último=Ferreira|primeiro=Aurélio Buarque de Holanda|título=Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa|editora=Nova Fronteira|edição=2|ano=1986|local=Rio de Janeiro|língua3=pt|isbn=8520904114}}</ref>. Ângulo também pode significar o local no [[gol]], em [[futebol]], de onde se podem ver os noventa graus da trave, de difícil acesso ao goleiro e considerado local nobre para marcação do gol. "No ângulo" é a expressão da jogada exata.

{{Referências}}

== Ver também ==
* [[Arco (matemática)]]
* [[Círculo]]
* [[Seno]]
* [[Cosseno]]
* [[Tangente]]
* [[Geometria]]

== Ligações externas ==
{{correlatos
| wikilivros = Arcos e ângulos
| wikcionário = ângulo
}}

{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Angulo}}
[[Categoria:Ângulos| ]]
[[Categoria:Trigonometria]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]

{{Link FA|nl}}

Ângulo - Histórico de revisões

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