Mostrar código-fonte de Teoria do caos

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{{revisão|data=julho de 2013}}
{{Mecânica Clássica|Sistemas Clássicos}}
[[Imagem:Mandelbrot 1-lambda.png|thumb|right|250px|Os [[fractal|fractais]] são representantes matemáticos de padrões aparentemente complicados mas que podem ser gerados por leis de evolução simples, como previsto pela Teoria do Caos]]

<!-- A '''teoria do caos'''  é um campo de estudo em [[matemática]], com aplicações em várias disciplinas, incluindo  [[física]], [[engenharia]], [[economia]], [[biologia]] e [[filosofia]]. A teoria do caos estuda o comportamento de [[sistema dinâmico|sistemas dinâmicos]] rigorosamente [[determinismo|deterministas]], mas que apresentam um fenômeno fundamental de instabilidade chamado "[[sensibilidade às condições iniciais]]", que, modulando uma propriedade suplementar de ''[[teorema da recorrência de Poincaré |recorrência]]'', torna-os não previsíveis na prática, a longo prazo. 
um efeito que é popularmente conhecido como o [[efeito borboleta]] 

Pequenas diferenças nas condições iniciais (tais como as causadas por erros de arredondamento em computação numérica) produzem resultados amplamente divergentes para tais sistemas dinâmicos, tornando a previsão a longo prazo impossível, em geral, <ref> {{citar livro |. Última Kellert = | primeiro = Stephen H. | title = na vigília do Caos: Ordem Imprevisível em Sistemas Dinâmicos | publisher = University of Chicago Press | ano = 1993 | isbn = 0-226-42976-8 | page = 32 | ref = Harv}} </ ref > Isso acontece mesmo que estes sistemas são [[sistema determinístico (matemática) | determinista]], o que significa que seu comportamento futuro é totalmente determinado por suas condições iniciais, sem [[aleatoriedade | Aleatório]]. elementos envolvidos <ref> {{harvnb | Kellert | 1993 | p = 56}} </ ref> Em outras palavras, a natureza determinista desses sistemas não os torna previsível <ref> {{harvnb |. Kellert | 1993 | p = 62}} </ ref > <ref name="WerndlCharlotte"> {{citar jornal | autor = Werndl, Charlotte | title = Quais são as novas implicações do Caos para imprevisibilidade? | journal = O Jornal britânico para a Filosofia da Ciência | volume = 60 | edição = 1 | páginas 195-220 = | ano = 2009 | url = http://bjps.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/60/ 1/195 | doi = 10.1093/bjps/axn053}} </ ref> Este comportamento é conhecido como caos determinístico, ou simplesmente caos''''. -->

A '''Teoria do caos''' trata de [[sistemas complexos]] e [[sistema dinâmico|dinâmicos]] rigorosamente [[determinismo|deterministas]], mas que apresentam um fenômeno fundamental de instabilidade chamado ''[[sensibilidade às condições iniciais]]'' que, modulando uma propriedade suplementar de ''[[teorema da recorrência de Poincaré |recorrência]]'', torna-os não previsíveis na prática a longo prazo.

Em sistemas dinâmicos complexos, determinados resultados podem ser "instáveis" no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis.

Isso significa que certos resultados determinados são causados pela ação e a [[iteração]] de elementos de forma praticamente aleatória. Para entender o que isso significa, basta pegar um exemplo na natureza, onde esses sistemas são comuns. A formação de uma [[nuvem]] no céu, por exemplo, pode ser desencadeada e se desenvolver com base em centenas de fatores que podem ser o [[calor]], o [[frio]], a [[evaporação]] da água, os [[vento]]s, o [[clima]], condições do [[Sol]], os eventos sobre a superfície e inúmeros outros. 

Além disso, mesmo que o número de fatores influenciando um determinado resultado seja pequeno, ainda assim a ocorrência do resultado esperado pode ser instável, desde que o sistema seja não-linear.

A conseqüência desta instabilidade dos resultados é que mesmo sistemas determinísticos (os quais tem resultados determinados por leis de evolução bem definidas) apresentem uma grande sensibilidade a perturbações (ruído) e erros, o que leva a resultados que são, na prática, imprevisíveis ou aleatórios, ocorrendo ao [[acaso]]. Mesmo em sistemas nos quais não há ruído, erros microscópicos na determinação do estado inicial e atual do sistema podem ser amplificados pela não-linearidade ou pelo grande número de interações entre os componentes, levando ao resultado aleatório. É o que se chama de "[[Determinismo#Tipos b.C3.A1sicos de determinismo|Caos Determinístico]]"

Na verdade, embora a descrição da mecânica clássica e relativística seja determinística, a complexidade da maioria dos sistemas leva a uma abordagem na qual a maioria dos graus de liberdade microscópicos é tratada como ruído (variáveis estocásticas, ou seja, que apresentam valores verdadeiramente aleatórios) e apenas algumas variáveis são analisadas com uma lei de comportamento determinada, mais simples, sujeita à ação deste ruído. Este método foi utilizado por [[Einstein]] e [[Paul Langevin]] no início do [[século XX]] para compreender o [[Movimento Browniano]].

Pois, é exatamente isso que os matemáticos querem prever: o que as pessoas pensam que é [[acaso]] mas, na realidade, é um fenômeno que pode ser representado por equações. Alguns pesquisadores já conseguiram chegar a algumas [[Equação|equações]] capazes de simular o resultado de [[sistema]]s como esses, ainda assim, a maior parte desses cálculos prevê um mínimo de constância dentro do sistema, o que normalmente não ocorre na [[natureza]].

Os cálculos envolvendo a Teoria do Caos são utilizados para descrever e entender fenômenos [[Meteorologia|meteorológicos]], crescimento de [[População|populações]], variações no mercado financeiro e movimentos de placas tectônicas, entre outros. Uma das mais conhecidas bases da teoria é o chamado "[[efeito borboleta]]", teorizado pelo matemático [[Edward Lorenz]], em 1963. 

==Ideia inicial==
A ideia é que uma pequena variação nas condições em determinado ponto de um sistema dinâmico pode ter consequências de proporções inimagináveis. "O bater de asas de uma borboleta em [[Tóquio]] pode provocar um [[ciclone tropical|furacão]] em [[Nova Iorque]]."12345

== Galileu, Newton e Laplace ==
[[Galileu Galilei]] introduziu algumas das bases da [[metodologia científica]] presas à ''simplicidade'' da obtenção de resultados.
Segundo aquela metodologia, a ciência continuou gradualmente a sua expansão em direção à determinação das realidades físicas.  

Com [[Isaac Newton]], surgiram as leis que regem a [[Mecânica clássica|Mecânica determinista Clássica]] e a determinação de que a posição espacial de duas [[massa]]s [[gravitação|gravitacionais]] poderia ser prevista. Havendo portanto uma explicação plausível da [[órbita]] terrestre em relação ao [[Sol]]. 

Portanto, o comportamento de três corpos gravitacionais poderia ser perfeitamente previsível, apesar do trabalho aumentado em função de mais dados inseridos para a execução dos cálculos necessários à determinação de posição.

Porém, ao se acrescentarem mais corpos massivos para as determinações de posições, começaram a ocorrer certos desvios imprevisíveis. Newton traduziu estes desvios ou efeitos através de [[Equação diferencial|equações diferenciais]] que mostravam que o sistema em sua evolução tendia para a formação de um sistema de equações diferenciais não-lineares.

== Gravitação ==
Ao se encontrar no estudo do sistema gravitacional equações diferenciais não lineares, estas se tornavam impossíveis de ser resolvidas.

[[Laplace]] afirmou que ''“...(sic) uma [[inteligência]] conhecendo todas as variáveis universais em determinado momento, poderia compor numa só fórmula matemática a unificação de todos os movimentos do [[Universo]]". 

Conseqüentemente deixariam de existir para esta inteligência o passado e o futuro, pois aos seus olhos todos os eventos seriam resultantes do momento presente.”''

Perseguindo a harmonia da física de então, na busca de uma resposta para a unificação da natureza, Laplace formulou e desenvolveu os princípios da [[teoria das probabilidades]], trabalhou nas equações diferenciais, criou a [[transformada de Laplace]] além de estudar a [[equação de Laplace]].

== Henri Poincaré ==
[[Henri Poincaré]] em 1880 aproximadamente, pesquisou os problemas relacionados à impossibilidade de resolução das equações diferenciais não lineares, na busca das leis da uniformidade e da unificação dos sistemas físicos. Seu objetivo era descrever o que ocorreria matematicamente quando da introdução de uma massa gravitacional complementar num sistema duplo, isto é, passando a análise de dois para três corpos gravitacionais interagindo mutuamente. Verificou que numa análise mais ampla, não se atendo a detalhes quantitativos e fazendo comparações qualitativas, isto é, enxergando o sistema como um todo. Acabou descobrindo que os sistemas de massas gravitacionais triplas evoluíam sempre para formas cujo equilíbrio era irregular. As órbitas mútuas tendiam a não ser periódicas, tornavam-se complexas e irregulares. 

Poincaré descobriu que ao invés de existirem órbitas ordenadas, equilibradas e regulares, ou um sistema equilibrado e harmônico, o que ocorriam eram sistemas verdadeiramente desestabilizados, onde o que prevaleceria não era a ordem natural, e sim o caos, a confusão, pois os movimentos se tornavam aleatórios. 

Os resultados observados que levavam à confusão e à desarmonia, não condiziam com a harmonia que ocorria na mecânica clássica. Poincaré neste seu trabalho acabou por descobrir uma possibilidade da existência de um sistema desordenado, com variáveis ao acaso. Na época não houve um interesse prático na sua teoria de órbitas irregulares, sendo muitas vezes considerada a teoria uma aberração matemática. Continuaram havendo alguns estudos esparsos por outros matemáticos, porém como curiosidade sobre os ''[[Sistemas dinâmicos não-lineares]]''.
== Década de oitenta do século XX ==
Até a década de 1980, os físicos defendiam a tese de que o [[universo]] era governado por leis precisas e estáticas, portanto os eventos nele ocorridos poderiam ser previstos. Porém a teoria do caos mostrou que certos eventos universais podem ter ocorrido de modo aleatório.

Quando se estudam os [[mecanismo]]s que procuram descrever a teoria do caos, os pesquisadores se deparam com o imprevisível em todos os momentos e em todas as partes do desenvolvimento teórico.

Bons exemplos de sistemas caóticos são o crescimento de lavouras e a formação de [[tempestade]]s, onde qualquer pequena alteração, direção, velocidade de [[vento]]s por exemplo, pode provocar grandes mudanças num espaço de tempo maior.

== Teoria ==
Um [[conjunto]] de objetos estudados que se inter-relacionem é chamado de sistema. Entre os sistemas consideram-se duas categorias: lineares e não-lineares, que divergem entre si na sua relação de [[causa e efeito]]. Na primeira, a resposta a um [[distúrbio]] é diretamente proporcional à intensidade deste. Já na segunda, a resposta não é necessariamente proporcional à intensidade do distúrbio, e é esta a categoria de sistemas que servem de objeto à teoria do caos, mais conhecidos como sistemas dinâmicos não-lineares. 

Esta teoria estuda o [[comportamento]] aleatório e imprevisível dos [[Teoria de sistemas|sistemas]], mostrando uma faceta em que podem ocorrer irregularidades na uniformidade da [[natureza]] como um todo. Isto ocorre a partir de pequenas alterações que aparentemente nada têm a ver com o evento futuro, alterando toda uma previsão física dita ''precisa''. 

Uma das ideias centrais desta teoria, é que os [[Probabilidade|comportamentos casuais (aleatórios)]] também são governados por leis e que estas podem predizer dois resultados para uma entrada de dados. O primeiro é uma resposta ordenada e lisa, sendo que o futuro dos eventos ocorre dentro de margens [[estatística]]s de erros previsíveis. O segundo é uma resposta também ordenada, onde porém a resultante futura dos eventos é corrugada, onde a superfície é áspera, caótica, ou seja, ocorre uma contradição neste ponto onde é previsível que os resultados de um determinado sistema serão caóticos.

==Sistemas caóticos==
Num sistema contínuo de segunda ordem, o teorema de Poincaré-Bendixon
garante que as trajetórias que não têm conjuntos limite positivo nem
negativo são trajetórias que se aproximam para o infinito nos limites
<math>t\rightarrow\infty</math> e <math>t\rightarrow -\infty</math>.

Num sistema contínuo com 3 ou mais variáveis de estado, já não se
verifica o '''teorema de Poincaré-Bendixon'''. Assim, podem existir
trajetórias que nunca saem de uma região finita do espaço de fase,
mas que não têm conjuntos limite positivo nem negativo. Para qualquer
valor de <math>t</math>, positivo ou negativo, a trajetória nunca passa
novamente por um ponto do espaço de fase por onde passa num instante
<math>t_1</math> (se o fizer, entrava num ciclo e teria um conjunto limite). O
sistema evolui para um número infinito de estados diferentes, sem sair
duma região finita do espaço de fase; nomeadamente, as variáveis de
estado nunca chegam a crescer indefinidamente. Esse tipo de
comportamento é designado de caos.

Quando o conjunto limite positivo de várias trajetórias for o mesmo,
esse conjunto limite designa-se '''atrator'''. As trajetórias
caóticas não têm nenhum conjunto limite, mas costumam aparecer na
proximidade de um conjunto de pontos de equilíbrio (ou ciclo)
atrativos e repulsivos, designados '''atrator estranho'''. A
conjugação de atração e repulsão dá origem ao comportamento caótico.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>
===Bola elástica sobre uma mesa oscilatória===
Um sistema mecânico simples em que aparecem trajetórias caóticas é
uma bola que cai para uma mesa horizontal, perde uma percentagem da
sua energia quando choca com a mesa, e após a colisão é projetada
para cima. Se a mesa estiver estática, a bola acabará por ficar em
repouso sobre a mesa, após alguns saltos. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

Se a mesa tiver um movimento
oscilatório, a bola pode ganhar eneolidir com a mesa quando
esta está a deslocar-se para cima. Se a oscilação da mesa for
suficientemente rápida e com amplitude suficientemente grande a
trajetória da bola poderá ser caótica.

Nesse caso, em cada impacto com a mesa, a velocidade
da bola mudava de sentido e era multiplicada pelo '''coeficiente
de restituição''' <math>\alpha</math>, menor
que 1. Com a mesa em movimento, se <math>v_o</math> e <math>v_m</math> forem as componentes
verticais da velocidade da bola e da mesa, no instante da colisão, e
<math>v_f</math> for componente da velocidade da bola imediatamente após a
colisão, verifica-se a equação

<math>
  v_f - v_m = -\alpha(v_o - v_m)
</math>

nomeadamente, a velocidade da bola, relativa à mesa, muda de sentido e
diminui num fator <math>\alpha</math>. Assim, a velocidade da bola após o impacto é

<math>
  v_f = (\alpha+1)\,v_m -\alpha\,v_o
</math>

Se o movimento da mesa for [[Movimento harmônico simples]], escolhendo a origem de
coordenadas e do tempo de forma apropriada, podemos escrever a altura
da superfície da mesa em função do tempo

<math>
  y_m = \beta\,\sin(\omega\,t)
</math>

a derivada de <math>y_m</math> dá a velocidade instantânea da mesa

<math>
  v_m = \omega\beta\,\cos(\omega\,t)
</math>

A condição que indicava cada impacto da bola com a mesa era quando a altura das duas for
a mesma e a componente vertical da velocidade da bola fosse menor que a componente
vertical da mesa (bola a aproximar-se da mesa). Devido a que no programa o tempo não
aumenta continuamente, mas em intervalos discretos, as duas alturas não chegam a ser
iguais, e usamos como condição de impacto que a altura do centro da bola fosse menor que
a da superfície da mesa.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

[[File:Trajetórias da bola elástica em queda livre sobre a mesa.png|thumb|right|400px|Trajetórias da bola elástica em queda livre sobre a mesa. No lado esquerdo,
quando a mesa está em repouso, e no lado direito quando a mesa oscila.]]

O resultado é apresentado no lado direito da
figura acima; são apresentadas apenas duas das 3
variáveis de estado, a altura da bola e a velocidade, pois o tempo
também é uma variável de estado neste caso (o sistema não é
[[Sistemas_dinâmicos#Sistemas_aut.C3.B4nomos|autônomo]]). Consequentemente, a trajetória da
figura acima não há chega a cruzar-se com si
própria, porque os diferentes pontos da trajetória têm todos valores
diferentes da terceira variável de estado.

As diferentes parábolas no lado direito da
figura acima não surgem de forma ordenada, de maior
para menor ou de menor para maior, mas de forma bastante irregular.  O
ponto de equilíbrio em <math>y=0</math>, <math>v=0</math> desaparece e é substituído por um
ciclo, que corresponde à situação em que a bola estivesse em repouso
em relação à mesa, oscilando com o mesmo movimento oscilatório; esse
ciclo é um [[atrator estranho]].

=== Efeito Borboleta ===
{{AP|[[Efeito Borboleta]]}}

Ao efeito da realimentação do erro foi chamado mais tarde por Lorenz de  ''[[Efeito borboleta|Efeito Borboleta]]'', ou seja, uma dependência sensível dos resultados finais às condições iniciais da alimentação dos dados. Assim, havendo uma distância, mesmo que ínfima, entre dois pontos iniciais diferentes, depois de um tempo os pontos estariam completamente separados e irreconhecíveis.

Normalmente este efeito é ilustrado com a noção de que o bater das asas de uma borboleta num extremo do [[Terra|globo terrestre]], pode provocar uma tormenta no outro extremo no intervalo de tempo de semanas.

É por esse motivo que as previsões meteorológicas possuem erros. Para evitar tais erros precisaríamos de medidas exatas de muitas variáveis (pressão, temperatura...) em praticamente todos os pontos do globo terreste, o que, atualmente, é impraticável. Além da falta de medidas, as medidas tomadas possuem ainda um certo grau de erro, gerando os problemas que conhecemos para as previsões.

===Equações de Rössler===
Em 1976 Rössler estudou o sistema:

<math>
\begin{align}
  &\dot{x} = -(y+z) \\
 &\dot{y} = x + ay \\
  &\dot{z} = b + xz - cz
\end{align}
</math>

Para valores pequenos do parâmetro <math>c</math> as trajetórias do sistema,
atingem um estado estacionário que é um ciclo com período simples.
=== Equações de Lorenz ===
No sistema da bola elástica na seção anterior, a trajetória caótica
permanece numa região finita do plano <math>y-v</math>, mas a terceira variável de fase,
o tempo, está sempre a aumentar e, portanto, não permanece numa região
finita. Vamos ver outro sistema caótico no qual todas as variáveis
aumentam e diminuem sem sair duma região finita do espaço de
fase. Trata-se do sistema de Lorenz.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

Em 1963, o meteorologista [[Edward Lorenz]]
apresentou um modelo meteorológico para as correntes de convecção do ar
em planos verticais, produzidas por aquecimento na aresta inferior dos
planos. As três equações diferencias do sistema são as seguintes

<math>
\begin{align}
  \dot{x} &= \sigma\,(y-x) \\
  \dot{y} &= r\,x - y - x\,z \\
  \dot{z} &= x\,y - b\,z
\end{align}
</math>

onde <math>x</math> representa a amplitude das correntes de convecção, <math>y</math> é a
diferença de temperaturas entre as correntes ascendente e descendente,
e <math>z</math> representa o desvio da temperatura normal no plano. Os três
parâmetros <math>\sigma</math>, <math>r</math> e <math>b</math> são positivos e dependem das propriedades
físicas do fluxo de ar.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

Algumas propriedades deste sistema são:

* Existe simetria em relação à transformação

<math>(x,y,z)\longrightarrow (-x,-y,z)</math>

* O eixo <math>z</math> é invariante; nomeadamente, se o estado em algum
instante estiver no eixo <math>z</math>, continuará a evoluir nesse eixo.

* Se o parâmetro <math>r</math> ([[número de Rayleigh]]) estiver dentro do
intervalo <math>0<r<1</math>, o único ponto de equilíbrio é a origem, que é
ponto de equilíbrio estável.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

* Existe uma bifurcação do ponto de equilíbrio na origem, quando
<math>r=1</math>. Para valores <math>r</math> superiores a 1, a origem torna-se ponto de
equilíbrio instável, e aparecem outros dois pontos de equilíbrio,
com os mesmo valor de <math>z</math>, mas com valores simétricos de <math>x</math> e <math>y</math>.

* Se <math>r</math> estiver compreendido entre 1 e o valor crítico:

<math>
r_c = \frac{\sigma\,(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}
</math>

Os dois novos pontos de equilíbrio são estáveis e a origem é
instável. Para valores de <math>r</math> superiores ao valor crítico, os 3
pontos de equilíbrio são instáveis, e constituem um atrator estranho.

Usaremos alguns valores típicos de <math>\sigma</math> ([[número de Prandtl]]) e de
<math>b</math>: 10 e 8/3 e obter a trajetória com valores iniciais <math>x=y=z=5</math>, desde <math>t=0</math> até <math>t=20</math>. 

Convém conferir que a solução numérica tenha um erro
numérico aceitável; isso consegue-se reduzindo sucessivamente o valor
de <math>\Delta t</math>, até obter resultados semelhantes,<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

== Comportamento assimptótico ==
Em alguns exemplos de sistemas em que
o estado evolui para um ponto de equilíbrio estável como o
[[Sistema_dinâmico_não_linear#O_p.C3.AAndulo|pêndulo]]; o [[atrito]] com o ar faz diminuir a amplitude das oscilações e o
pêndulo aproxima-se da posição de equilíbrio estável, na posição mais
baixa do pêndulo.

Outros sistemas evoluem aproximando-se de um ciclo no espaço de fase;
após algum tempo, cada variável de estado varia de forma cíclica
repetitiva. Os pontos do espaço de fase que fazem parte do ciclo
limite constituem o '''conjunto limite''' para o estado do sistema. 

Se <math>\Gamma</math> for uma trajetória do sistema, no espaço de fase,
o conjunto limite positivo, <math>\omega(\Gamma)</math>, é o ponto, ou
conjunto de pontos, para onde a trajetória <math>\Gamma</math> se aproxima, no
limite <math>t\rightarrow\infty</math>. 

Define-se também o conjunto 
limite negativo, <math>\alpha(\Gamma)</math>, constituído pelo ponto ou
conjunto de pontos onde a trajetória se aproxima no limite
<math>t\rightarrow -\infty</math>.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

Esses conjuntos limite poderão não existir, se a trajetória se
afastar continuamente sem limite. Se existirem, os conjuntos limite
poderão ser pontos de equilíbrio, ciclos ou órbitas homoclínicas ou
[[Sistema_dinâmico_não_linear#Aproxima.C3.A7.C3.A3o_linear_do_p.C3.AAndulo|heteroclínicas]].

A designação <math>\alpha</math> e <math>\omega</math> para os conjuntos limite negativo e
positivo, é devida a que essas duas letras são a primeira e última
letra no alfabeto grego; <math>\alpha(\Gamma)</math> é a origem donde sai a
trajetória <math>\Gamma</math>, e <math>\omega(\Gamma)</math> é o fim de <math>\Gamma</math>.
===Teorema de Poincaré-Bendixon===
Num [[Sistemas dinâmicos|sistema dinâmico]] onde existam unicamente duas variáveis de estado,
que possam ter qualquer valor real, o espaço de fase é um plano. Se
as duas variáveis de estado fossem <math>x_1</math> e <math>x_2</math>, o espaço de fase será o
plano <math>x_1x_2</math>. As equações de evolução serão:

<math>
\begin{align} \dot{x_1} &= f_1(x_1,x_2) & \dot{x_2} &= f_2(x_1,x_2)
\end{align}
</math>


e '''a velocidade de fase''' em qualquer ponto do espaço de fase é o [[Vetor (matemática)|vetor]]:

<math>
  \vec{u} = f_1(x_1,x_2)\,\vec{e}_1 + f_2(x_1,x_2)\,\vec{e}_2
</math>

Em cada ponto esse vetor determina a tangente à curva de evolução
<math>\Gamma</math> que passa por esse ponto. Duas curvas de evolução diferentes
nunca se podem cruzar em nenhum ponto no domínio das funções <math>f_1</math> e
<math>f_2</math>, porque no ponto em que se cruzassem existiriam duas velocidades
de fase diferentes, que não é possível.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

{{Citação2|bq=s|cinza=s|Em qualquer sistema com
apenas duas variáveis de estado (espaço de fase plano), se existir o
conjunto limite positivo, ou negativo, de uma trajetória <math>\Gamma</math>,
esse conjunto limite deverá ser um dos três casos seguintes}}

* Um ponto de equilíbrio.

* Um ciclo.

* Uma órbita homoclínica ou heteroclínica.

Em particular, quando existir o conjunto limite positivo
<math>\omega(\Gamma)</math>, é designado também por '''atrator'''. Segundo o
teorema de Poncairé-Bendixon, no plano os únicos atratores podem ser
pontos de equilíbrio, ciclos, órbitas homoclínicas ou órbitas
heteroclínicas.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

Se o conjunto limite positivo, <math>\omega(\Gamma)</math>, de uma trajetória
for um único ponto, esse ponto deverá ser um ponto de equilíbrio, que
pode ser um nó ou foco estável, ou um ponto de sela. Se o conjunto
limite negativo, <math>\alpha(\Gamma)</math>, for um único ponto, poderá ser um
[[Sistema_de_equações_lineares#N.C3.B3s_est.C3.A1veis_e_inst.C3.A1veis|nó]] ou [[Sistema_de_equações_lineares#Focos_e_centros|foco repulsivo]], ou um [[Sistema_de_equações_lineares#Pontos_de_sela|ponto de sela]].

Um ponto de sela pode ser simultâneamente conjunto limite positivo e
negativo de uma trajetória; nomeadamente, a trajetória começa nesse
ponto de sela e fecha-se terminando no mesmo ponto de sela. Esse tipo
de trajetória fechada constitui uma órbita homoclínica.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>
===Critério de Bendixon===
A divergência da '''velocidade de fase''' é definida por:

<math>
\nabla\cdot\vec{u} = \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} + \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}
</math>

Outro teorema importante, designado de critério de Bendixon é o seguinte:

{{Citação2|bq=s|cinza=s|Num sistema dinâmico com apenas duas variáveis de estado, se numa região simplesmente conexa R, do plano de fase, a '''divergência''' da velocidade de fase for sempre positiva ou sempre negativa, então em '''R''' não existe nenhum ciclo, nem órbita homoclínica nem órbita heteroclínica.}}

Uma região R simplesmente conexa é uma região sem nenhum buraco no seu
interior: a reta que une dois pontos quaisquer na região deverá estar
contida completamente em R.

O critério de Bendixon é útil para determinar em que regiões do plano
de fase podem existir ciclos, órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

'''Exemplo'''
''Demonstrando-se que um pêndulo, amortecido pela resistência do ar não pode ter nenhum
ciclo, nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas'', temos:

As equações de evolução para o ângulo,
<math>\theta</math>, e a velocidade angular <math>\omega</math> do pêndulo são obtidas adicionando a
força de resistência do ar (ver [[equação]] [[Terceira_Lei_de_Newton#For.C3.A7a_de_resist.C3.AAncia_nos_fluidos|Força de resistência nos fluidos]] às
equações de evolução do pêndulo ideal:

<math>
\begin{align}
  \dot{\theta} &= \omega &
  \dot{\omega}& = -\frac{g}{l}\,\sin\theta - K_1\,\omega - K_2\,|\omega|\,\omega
\end{align}
</math>

onde <math>g</math> é a [[aceleração da gravidade]], <math>l</math> é o comprimento do pêndulo e <math>K_1</math> e <math>K_2</math> são duas constantes obtidas a partir da [[Terceira_Lei_de_Newton#For.C3.A7a_de_resist.C3.AAncia_nos_fluidos|equação]]
, dividida por <math>l</math>.

A divergência da velocidade de fase é:

<math>\nabla\cdot\vec{u} = \dfrac{\partial \omega}{\partial \theta} + \dfrac{\partial \left(-\dfrac{g}{\partial l}\,\sin\theta - K_1\,\omega -
      K_2\,|\omega|\,\omega\right)}{\omega} = -K_1 -2\,K_2\,|\omega|
</math>

Assim, conclui-se que a divergência é sempre negativa (sistema
dissipativo) e, portanto, não existe nenhum ciclo nem órbitas
homoclínicas ou heteroclínicas. No caso [[Força conservativa|conservativo]], quando as
constantes da resistência do ar, <math>K_1</math> e <math>K_2</math>, forem nulas, a
divergência será nula e já não verificará a condição do critério de
Bendixon; nesse caso existem ciclos.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

Se existir uma curva de evolução fechada C, formada por um ciclo, órbita
homoclínica ou heteroclínica, no interior dessa órbita fechada e na
sua vizinhança, as trajetórias podem ter algum dos 3 comportamentos
seguintes:

* Aproximam-se assimptóticamente de C.

* Afastam-se assimptóticamente de C.

* Formam uma família contínua de ciclos.

No primeiro caso, a curva C será o conjunto limite positivo,
<math>\omega(\Gamma)</math>, de todas as curvas <math>\Gamma</math> no seu
interior. Deverá existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no
interior de C, que seja o conjunto limite negativo <math>\alpha(\Gamma)</math> de
todas essas curvas; consequentemente, esse ponto de equilíbrio
deverá ser um nó ou foco instável.
 
No segundo caso, a curva C será conjunto limite negativo,
<math>\alpha(\Gamma)</math>, de todas as curvas <math>\Gamma</math> no seu
interior. Deverá existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no
interior de C, que seja o conjunto limite positivo
<math>\omega(\Gamma)</math> de todas essas curas; consequentemente, esse
ponto de equilíbrio deverá ser um nó ou foco estável.

No terceiro caso, um dos ciclos menores pode ser ciclo limite
atrativo ou repulsivo, existindo assim um nó ou foco no seu interior,
como nos dois casos anteriores. Se nenhum dos ciclos na família de
ciclos internos for um ciclo limite, deverá existir um centro no
interior da família de ciclos.

Independentemente da situação no interior da curva C, no seu exterior
poderão existir outros ciclos, ou C poderá ser conjunto limite atrativo
ou repulsivo. Isto é, uma órbita fechada pode ser atrativa no interior e
no exterior, atrativa no interior mas repulsiva no exterior, etc.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>
==Diagrama de órbitas==
O diagrama de órbitas mostra numa forma compacta o
comportamento de um [[sistema dinâmico]], em função do valor de um
parâmetro. Para cada valor do parâmetro, dentro de um intervalo que
admita soluções não divergentes, calculam-se vários pontos da solução
do sistema, e eliminam-se alguns pontos no início para eliminar
qualquer estado transitório inicial.<ref name=Villate.>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>
== Atrator ==
Um [[atrator]] é um ponto (ou o conjunto dos pontos atratores, dependendo o contexto) para o qual toda órbita que passar por um ponto suficientemente próximo converge para o ponto, isto é, fica indefinidamente próximo bastando para isso esperar um tempo suficiente.

No caso de um campo de vetores, um atrator é sempre uma [[singularidade]]: se o atrator for o estado inicial, ele será o estado atingido para todo tempo passado e futuro.

Por exemplo, uma bola rolando por uma superfície plana com atrito pára. O atrator desse sistema dinâmico é o conjunto dos pontos (ou estados) em que a bola está parada.

== Atrator estranho ==
[[Ficheiro:Lorenz system r28 s10 b2-6666.png|thumb|left|150px|[[Atrator de Lorenz|Atrator estranho de Lorenz]]]] 
Ao observarmos os resultados dos estados das [[Equações de Lorenz]] e os representarmos num gráfico tridimensional, observaremos que haverá uma convergência em direção a algo que se chama atrator estranho.

A convergência não será simples como nos casos prescritos para o caso bidimensional pelo [[teorema de Poincaré-Bendixson]]. A órbita de um ponto genérico se aproximará dos dois pontos (que são singularidades do campo) alternadamente. E quanto mais avançamos na órbita, certos padrões semelhantes a [[conjunto de Cantor|conjuntos de Cantor]] aparecem nas interseções.

== Atratores e fractais ==
Os [[Fractal|fractais]] são figuras da [[geometria]] não-[[Euclides|Euclidiana]]. A partir dos estados de um determinado sistema onde existem variáveis tais como [[massa]], [[pressão]], [[temperatura]], [[velocidade]], [[posição]], etc, estes podem ser representados por coordenadas, num determinado [[Espaço físico|espaço]] cuja configuração pode ser considerada multidimensional, de um ponto cujas coordenadas são determinadas pelas variáveis. Na [[física]] clássica podemos descrever o comportamento de um sistema dinâmico geometricamente como o movimento de um atrator. Já nos sistemas considerados caóticos, os atratores são denominados atratores estranhos, isto ocorre pelo elevado grau de incerteza dos resultados destes sistemas. 

Os atratores estranhos devem ter estruturas detalhadas em todas as escalas de magnificação. Em função disto foi desenvolvido um modelo conceitual chamado [[fractal]], que tem uma forma geométrica complexa e exibe uma formação estrutural que tem uma propriedade chamada de auto-similaridade. Estes sistemas complexos tornaram possível o progresso no processamento de dados gráfico.
== Bifurcações ==
Uma '''Bifurcação''' num sistema dinâmico é uma mudança na
natureza de um ponto fixo, devida à mudança de um parâmetro do
sistema.<ref name=Villate>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>

Existem três tipos comuns de bifurcações que são designados por
'''bifurcação sela-nó''', '''bifurcação transcrítica''' e
'''bifurcação de forquilha'''.<ref name=Villate>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>
===Bifurcação sela-nó===
Neste tipo de bifurcação, o sistema não tem nenhum ponto fixo, mas
quando aumenta um parâmetro do sistema, aparece um ponto fixo
não-hiperbólico que depois se separa em dois pontos fixos: um ponto de
sela e um nó.<ref name=Villate>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>

Por exemplo, consideremos a seguinte família de sistemas dinâmicos:

<math>
  \left\{\begin{array}{l}\dot{x} = \mu - x^2\\\dot{y} = -y\end{array}\right.
</math>

que depende de um parâmetro real <math>\mu</math>.
===Bifurcação transcrítica===
Numa bifurcação transcrítica, dois pontos fixos aproximam-se,
combinando-se num único ponto fixo, que depois se separa novamente nos
dois pontos.
 
Por exemplo, na família de sistemas

<math>
  \left\{\begin{array}{l}\dot{x} = \mu x - x^2\\\dot{y} = -y\end{array}\right.
</math>

Se o parâmetro <math>\mu</math> for diferente de zero, existirão dois pontos fixos:

<math>(0,0)\qquad (\mu,0)</math>

e se o parâmetro for nulo, o único ponto fixo é a origem.
===Bifurcação de forquilha===
Na bifurcação de forquilha, existe um ponto fixo estável que se torna
instável, dando origem a dois novos pontos fixos estáveis.<ref name=Villate>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>

Por exemplo, na família de sistemas:

<math>
  \left\{\begin{array}{l}\dot{x} = \mu x - x^3\\\dot{y} = -y\end{array}\right.
</math>

Se o parâmetro <math>\mu</math> for negativo, o único ponto fixo é um nó estável
na origem.

quando o parâmetro <math>\mu</math> é nulo, o ponto fixo na origem torna-se
não-hiperbólico e estável.

Para valores positivos do parâmetro, existem 3 pontos fixos:

<math>(-\sqrt{\mu},0)\qquad (0,0)\qquad (\sqrt{\mu},0)</math>

A origem torna-se instável (ponto de sela). Os outros dois pontos fixos são
nós estáveis.<ref name=Villate>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>
===Bifurcações e caos em [[Sistema dinâmico discreto|sistemas discretos]]===
[[File:Dois membros da família de mapas quadráticos.png|thumb|350px|Dois membros da família de mapas quadráticos , com c=1 e c=1/4.]]
Um sistema simples que conduz a soluções
caóticas chama-se do '''sistema quadrático''',<ref>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref> definido por uma
família de sistemas dinâmicos discretos, com um parâmetro real <math>c</math>:

<math>
y_{n+1} = y_n^2 + c
</math>

As soluções do sistema obtêm-se por iterações sucessivas da função

<math>
Q(y) = y^2 + c
</math>

No caso <math>c = 1</math>, não existem pontos fixos, como se pode observar na
figura. O primeiro ponto fixo aparecerá quando a
parâbola <math>y^2 + c</math> tocar a reta, no ponto (1/2, 1/2). Isso
acontecerá quando <math>c</math> for igual a 1/4. Quando <math>c</math> diminui até 1/4,
diz-se que aconteceu uma bifurcação, pois o sistema passa de não ter
nenhum ponto fixo a ter um ponto fixo.

Para <math>c=1/4</math>, se o ponto inicial estiver dentro de a região a
tracejado na figura, nomeadamente, se <math>-1/2\leq y\leq 1/2</math>, a solução
será uma sequência convergente, com limite igual a 1/2. Essa é a
região de convergência do sistema, também designada de '''bacia de atração''' . Por fora dessa região, a solução diverge até infinito. <ref>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>

O intervalo de convergência ``dobra-se'' sobre si próprio, pois dois
pontos <math>x</math> e <math>-x</math> nesse intervalo terminam no mesmo ponto <math>x^2 + c</math>
após uma iteração da função. A iteração da função transporta os
pontos no intervalo [-1/2, 1/2] para um intervalo mais pequeno [1/4,
1/2].

Se <math>=0</math> (figura ao lado direito) o intervalo de convergência
passa a ser [-1,-1] e a iteração da função dobra-o sobre si próprio,
sem deformação, ficando com metade do seu tamanho: [0, 1].<ref>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>

[[File:As funções Q (vermelho) e Q² para.png|thumb|right|360px|As funções Q(vermelho) e Q²(verde) para c = 0 e c = −3/4.]]
[[File:Sistema bifucação.png|thumb|left|360px|Para c = −1 o sistema tem um ciclo de ordem 2 e para c = −2 existem ciclos com qualquer período.]]

Existem dois pontos fixos do sistema, em <math>y=0</math> e <math>y=1</math>, mas só um
deles, <math>y=0</math>,é atrativo. Assim, no intervalo de convergência a
solução é uma sucessão que se aproxima de zero.  No mesmo gráfico
(figura ao lado direito) foi representada em verde a segunda iteração da
função, <math>F(F(y))</math>. Essa função corta a recta unicamente nos pontos
fixos, o que nos permite concluir que não existe nenhum ciclo de
período 2.<ref name=Villate>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>

A partir de <math>c=-3/4</math> ocorre uma segunda bifurcação: o ponto fixo
estável passa ser instável e aparece um ciclo de período 2. Na (figura
ao lado esquerdo), para <math>c=-1</math>, podem ver-se os dois pontos que
fazem parte desse ciclo: são os pontos onde a curva <math>F(F(y))</math> (a verde)
atravessa a recta, excluindo o ponto fixo (onde a parábola corta a reta).

Em <math>c=-2</math>, o intervalo de convergência, é esticado e dobrado,
preenchendo o mesmo intervalo inicial [-2, 2]. A função <math>F(F(y))</math>
também preenche completamente esse intervalo, e o mesmo acontece com
qualquer outra iteração da função. Isso mostra que existem ciclos de
todos os períodos possíveis. <ref name=Villate>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>
[[File:Sistema conjunto de cantor.png|thumb|360px|c=-2.2 e conjunto de Cantor.]]
Num pequeno intervalo dentro da região de convergência existirão
pontos que pertencem a ciclos de vários períodos diferentes. A solução
obtida a partir de um ponto inicial no intervalo [-2, 2] evolui em
forma errática por vários pontos diferentes no mesmo intervalo. Uma
pequena mudança no ponto inicial conduz a soluções completamente
diferentes. Trata-se de um sistema '''caótico'''.

Se continuarmos a diminuir o parâmetro <math>c</math>, por exemplo até <math>-2.2</math>,
aparece um intervalo à volta da origem onde a primeira iteração da
função produz um número fora do intervalo de convergência e, por tanto
uma sequência divergente (figura ao lado). Consequentemente,
o intervalo de convergência é formado realmente por dois intervalos
separados por um buraco no meio. Mas no centro de cada um desses dois
intervalos existe também um pequeno intervalo onde a segunda iteração
da função sai por fora do intervalo de convergência, como se
pode ver no lado direito da figura ao lado.<ref>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>

Olhando para as iterações de ordens superiores, conclui-se que cada
subintervalo está sempre cortado no meio. O conjunto de pontos que
formam o intervalo de convergência, obtido por eliminação recursiva de
intervalos no meio, é designado por [[conjunto de Cantor]].

Trata-se de um conjunto fechado, mas não-conexo: o segmento de recta
que une dois pontos dentro do conjunto não pertence totalmente ao
conjunto. Uma parte pequena do conjunto é semelhante ao conjunto
inicial, numa escala mais pequena.  Esse tipo de conjunto é denominado
[[fractal]].<ref>[ Introdução aos sistemas dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]]972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.</ref>

==Exemplos físicos de bifurcações==
Se a base dum pêndulo roda no plano horizontal, com velocidade
angular maior que <math>\sqrt{g/l}</math>, a posição mais baixa do pêndulo deixa
de ser ponto de equilíbrio estável, passando a ser ponto de equilíbrio
instável, e aparecem dois novos pontos de equilíbrio estável.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

[[File:Pêndulo simples com a base em rotação no plano horizontal e diagrama de forças externas.png|thumb|left|350px|Pêndulo simples com a base em rotação no plano horizontal e diagrama de forças externas.]]

No referencial que roda com a base, existe uma força fitícia, a força
centrífuga:

<math>
  F_c = m\,R\,\omega_b^2
</math>

onde <math>R</math> é a distância desde o centro do disco até à vertical que
passa pelo eixo do pêndulo, e <math>\omega_b</math> é a velocidade angular da
base. A soma dessa força, junto com o peso e a tensão na barra,
produzem uma força resultante com componente tangencial

<math>
  F_\mathrm{t} = m\,\sin\theta\left(l\,\omega_b^2\,\cos\theta -g\right)
</math>

Assim, as equações de evolução para o ângulo, <math>\theta</math>, e a velocidade
angular, <math>\omega</math>, do pêndulo são

<math>
\begin{align}
  \dot{\theta} &= \omega &
  \dot{\omega}& = \sin\theta\left(\omega_b^2\,\cos\theta -\frac{g}{l}\right)
\end{align}
</math>

O lado esquerdo da figura abaixo mostra o retrato de fase
correspondente a essas equações, no caso em que a velocidade angular
da base, <math>\omega_b</math>, for menor que <math>\sqrt{g/l}</math>. Existem dois pontos de
equilíbrio, em <math>\theta=0</math> e <math>\theta=\pm\pi</math>; o primeiro ponto é um
centro, e o segundo ponto é um ponto de sela.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

[[File:Retrato de fase dum pêndulo.png|thumb|left|350px|Retrato de fase dum pêndulo com <math>l=0.5m</math> quando a velocidade angular <math>\omega_b</math> da base é igual a <math>2s^{-1}</math> (lado esquerdo) e <math>10s^{-1}</math> (lado direito).]]

O lado direito da figura acima mostra o retrato de
fase quando a velocidade angular da base, <math>\omega_b</math>, for maior que
<math>\sqrt{g/l}</math>. O ponto de equilíbrio em <math>\theta=0</math> torna-se instável,
passando a ser um ponto de sela com dois ciclos homoclínicos. 

Dentro
de cada ciclo homoclínico há um novo centro. O sistema poderá oscilar em
forma repetitiva à volta de algum dos dois centros.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

Diz-se que o sistema sofre uma bifurcação em
<math>\omega_b=\sqrt{g/l}</math>. Imagine que a base do pêndulo estivesse
inicialmente em repouso, e o pêndulo na posição de equilíbrio estável,
com <math>\theta=0</math> e <math>\omega=0</math>. Se a base começar a rodar com aceleração
angular positiva, chegará um instante em que o estado do pêndulo se
torna instável, e qualquer pequena perturbação faz com que o pêndulo
suba abruptamente para uma das duas novas posições de equilíbrio
estável.

Como normalmente existe alguma incerteza experimental associada às
medições de <math>\theta=0</math> e <math>\omega=0</math>, isso implicará a
impossibilidade de prever para qual dos dois novos pontos de
equilíbrio irá subir o pêndulo, quando <math>\omega_b</math> atingir o valor que
produz bifurcação.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

Outro exemplo físico simples com bifurcação, já estudado por [[Leonhard Euler]] no
século XVIII, é uma barra flexível, por exemplo uma régua plástica
apoiada numa mesa, e com uma força externa <math>F</math> que faz com que
permaneça na posição vertical. Se <math>F</math> não ultrapassar um valor crítico
<math>F_c</math>, a régua permanecerá direta e em equilíbrio. Se a força <math>F</math>
ultrapassar o valor crítico <math>F_c</math>, a régua encurva-se, até ficar numa
nova posição de equilíbrio em que o centro da régua está afastado uma
distância <math>\Delta x</math> da vertical. Acontece que o desvio da barra pode
ser para a direita ou para a esquerda da vertical. Nomeadamente,
existem dois pontos de equilíbrio com <math>\Delta x</math> positiva ou negativa.

Em função de <math>F</math>, o ponto de equilíbrio <math>\Delta x = 0</math>, para <math>F <
F_c</math>, separa-se em dois pontos de equilíbrio, <math>\Delta x >0</math> e <math>\Delta
x <0</math> para <math>F > F_c</math>. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>

Trata-se de uma bifurcação: em <math>\Delta x = 0</math>
ainda existe uma posição de equilíbrio, mas é bastante
instável. Aparecem duas novas posições de equilíbrio com <math>\Delta x</math>
positivo e negativo. Com uma régua que seja bastante reta e simétrica
em relação às deformações para os dois lados, será difícil prever para
qual dos dois lados irá inclinar-se, quando <math>F</math> aumentar por cima do
limiar de bifurcação.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.</ref>
== Idéias básicas ==
As idéias que devem ser levadas em conta num sistema caótico básico são três:
* [[Atrator estranho|Atratores]]
* [[Espaço de fase]]
* [[Fractal|Fractais]]

== Ver também ==
* [[Relativismo]]
* [[Efeito borboleta]]
* [[Fractal]]
* [[Atractor de Lorenz]]
* [[Conjunto de Mandelbrot]]
* [[Sistemas complexos]]
* [[Teoria semiótica da complexidade]]
* [[Determinismo]]
{{referências}}

== Ligações externas ==
* {{Link|pt|2=http://tero.fis.uncor.edu/~tamarit/biologia/villate.pdf|3=Introdução aos Sistemas Dinâmicos,Jaime.E.Villate}}
* [http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=2778 ALTA ANSIEDADE: A MATEMÁTICA DO CAOS]

{{commons|Chaos theory}}

{{Sistemas de ciência}}

[[Categoria:Teoria da computação]]
[[Categoria:Teoria do caos|*]]

{{Bom interwiki|de}}