Mostrar código-fonte de Relatividade geral

[[Ficheiro:BBH gravitational lensing of gw150914.webm|miniaturadaimagem|300px|Simulação de computador em câmera lenta do [[sistema binário|par]] de [[buraco negro|buracos negros]] que deu origem à [[onda gravitacional]] GW150914, visto por um observador próximo por 0,33 segundos apresentando seu movimento espiral, fusão e estado final. O campo de estrelas atrás dos buracos negros foi fortemente distorcido e parece girar e se mover, devido à [[lente gravitacional]] extrema, já que o [[espaço-tempo]] em si é distorcido e arrastado pelos buracos negros rotativos.<ref>{{citar web|título=GW150914: LIGO Detects Gravitational Waves|url=http://www.black-holes.org/gw150914|obra=black-holes.org|acessodata=29 de setembro de 2017|língua=inglês}}</ref>]]
'''Teoria da relatividade geral''' ou simplesmente '''relatividade geral''' é uma [[teoria]] [[Geometria diferencial|geométrica]] da [[Gravidade|gravitação]] publicada por [[Albert Einstein]] em 1915<ref>{{citar web |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/General_relativity.html |titulo=General relativity |ultimo1=O'Connor |primeiro1=J.J. |ultimo2=Robertson |primeiro2=E.F. |ano=1996 |formato= |obra=Escola de Matemática e Estatística da Universidade de St. Andrews |publicado=Mathematical Physics Index |acessodata=30 de setembro de 2017 |citacao= }}</ref> e a descrição atual da gravitação na [[física moderna]]. É um [[Teoria da relatividade|conjunto de hipóteses]] que generaliza a [[Relatividade restrita|relatividade especial]] e a [[Lei da gravitação universal|lei da gravitação universal de Newton]], fornecendo uma descrição unificada da gravidade como uma propriedade geométrica do [[Espaço físico|espaço]] e do [[Tempo#Definição científica|tempo]], ou espaço-tempo. Em particular, a "[[curvatura do espaço-tempo]]" está diretamente relacionada à [[energia]] e ao [[Momento linear|momento]] de qualquer [[matéria]] e [[radiação]] presente. A relação é especificada pelas [[equações de campo de Einstein]], um sistema de [[Equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]].

Muitas previsões da relatividade geral diferem significativamente das da [[física clássica]], especialmente no que respeita à passagem do tempo, a [[geometria]] do espaço, o movimento dos corpos em [[queda livre]], e a propagação da [[luz]]. Exemplos de tais diferenças incluem a [[dilatação gravitacional do tempo]], o [[desvio gravitacional para o vermelho]] da luz, e o [[Efeito Shapiro|tempo de atraso gravitacional]]. Previsões da relatividade geral foram [[Testes da relatividade geral|confirmadas]] em todas as observações e experimentos até o presente. Embora a relatividade geral [[Alternativas à relatividade geral|não seja a única teoria relativística da gravidade]], é a [[Navalha de Occam|mais simples]] das teorias que são consistentes com [[Experiência científica#Definição e características básicas|dados experimentais]]. No entanto, há questões ainda sem resposta, sendo a mais fundamental delas explicar como a relatividade geral pode ser conciliada com as leis da [[Mecânica quântica|física quântica]] para produzir uma teoria completa e auto-consistente da [[gravitação quântica]].

A teoria de Einstein tem importantes implicações [[astrofísica]]s. Ela aponta para a existência de [[buraco negro|buracos negros]] — regiões no espaço onde o espaço e o tempo são distorcidos de tal forma que nada, nem mesmo a luz, pode escapar — como um estado final para [[estrela]]s maciças. Há evidências de que esses [[buraco negro estelar|buracos negros estelares]], bem como outras variedades maciças de buracos negros são responsáveis pela intensa [[radiação]] emitida por certos tipos de objetos astronômicos, tais como núcleos ativos de galáxias ou [[microquasar]]es. O desvio da luz pela gravidade pode levar ao fenômeno de [[lente gravitacional]], onde várias imagens do mesmo objeto astronômico distante são visíveis no céu. A relatividade geral também prevê a existência de [[Radiação gravitacional|ondas gravitacionais]], que já foram medidas indiretamente; uma medida direta, no final de 2015, por pesquisadores do projeto [[LIGO]] (''Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory'') confirmou as "distorções no espaço e no tempo" causadas por um par de [[buracos negros]] com 30 [[Massa solar|massas solares]] em processo de fusão.<ref name="Discovery 2016">{{citar periódico|título=Einstein's gravitational waves found at last |periódico=Nature News| url=http://www.nature.com/news/einstein-s-gravitational-waves-found-at-last-1.19361 |data=11 de fevereiro de 2016 |último =Castelvecchi |primeiro =Davide |último2 =Witze |primeiro2 =Witze |doi=10.1038/nature.2016.19361  |acessodata=21 de fevereiro de 2016-02-1 }}</ref><ref name='Abbot'>{{citar periódico|título=Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger|autores=B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration)|periódico=Physical Review Letters|ano=2016| volume=116|issue=6| url=https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.116.061102 | doi=10.1103/PhysRevLett.116.061102}}</ref><ref name='NSF'>{{citar web|título= Gravitational waves detected 100 years after Einstein's prediction {{!}} NSF - National Science Foundation|url = http://www.nsf.gov/news/news_summ.jsp?cntn_id=137628|website = www.nsf.gov|acessodata= 2016-02-11}}</ref><ref>{{citar jornal|último =Overbye |primeiro =Dennis |autorlink =Dennis Overbye |título=Physicists Detect Gravitational Waves, Proving Einstein Right |url=http://www.nytimes.com/2016/02/12/science/ligo-gravitational-waves-black-holes-einstein.html?_r=0 |data=11 de fevereiro de 2016 |obra=New York Times |acessodata=11 de fevereiro de 2016 }}</ref> Além disso, a relatividade geral é a base dos atuais modelos [[Cosmologia|cosmológicos]] de um universo sempre em expansão.

== História ==
Logo depois de publicar a teoria da relatividade especial em 1905, Einstein começou a pensar sobre como incorporar a [[gravidade]] em sua nova estrutura relativista. Em 1907, começando com um simples [[experimento mental]] envolvendo um observador em queda livre, embarcou no que seria uma busca de oito anos por uma teoria relativística da gravidade. Após inúmeros desvios e falsos começos, seu trabalho culminou na apresentação à [[Academia de Ciências da Prússia]], em novembro de 1915, do que hoje são conhecidas como equações de campo de Einstein. Essas equações especificam como a geometria do espaço e do tempo é influenciada por qualquer matéria e radiação presentes e formam o núcleo de sua teoria da relatividade geral.<ref>{{Harvnb|Pais|1982|loc=ch. 9 ao 15}}, {{Harvnb|Janssen|2005}}; um acervo atualizado de pesquisas atuais, incluindo reimpressões de muitos dos artigos originais, está em {{Harvnb|Renn|2007}}; uma visão geral acessível pode ser encontrada em {{Harvnb|Renn|2005|pp=110ff}}. Os documentos originais de Einstein são encontrados em [http://einsteinpapers.press.princeton.edu/ Digital Einstein], volumes 4 e 6. Um artigo chave inicial é {{Harvnb|Einstein|1907}}, [[Confer|cf.]] {{Harvnb|Pais|1982|loc=ch. 9}}. A publicação com as equações de campo está em {{Harvnb|Einstein|1915}}, ch. {{Harvnb|Pais|1982|loc=ch. 11–15}}</ref>

As equações de campo de Einstein são [[Sistema dinâmico não linear|não-lineares]] e muito difíceis de resolver. Einstein usou métodos de aproximação na elaboração das previsões iniciais da teoria. Mas já em 1916, o astrofísico [[Karl Schwarzschild]] encontrou a primeira solução não trivial exata para as equações de campo, a [[métrica de Schwarzschild]]. Esta solução estabeleceu as bases para a descrição das etapas finais do colapso gravitacional e os objetos conhecidos hoje como buracos negros. No mesmo ano, foram realizados os primeiros passos para a generalização da métrica de Schwarzschild para objetos [[Carga elétrica|carregados eletricamente]], o que acabou resultando na [[métrica de Reissner-Nordström]], agora associada a [[Buraco negro carregado|buracos negros carregados eletricamente]].<ref>{{Harvnb|Schwarzschild|1916a}}, {{Harvnb|Schwarzschild|1916b}} e {{Harvnb|Reissner|1916}} (mais tarde complementado em {{Harvnb|Nordström|1918}})</ref> No ano seguinte, Einstein aplicou sua teoria ao [[universo]] como um todo, iniciando o campo da cosmologia relativista. Em consonância com o pensamento contemporâneo, assumiu um universo estático, adicionando um novo parâmetro às suas equações de campo originais — a [[constante cosmológica]] — para combinar com essa presunção observacional.<ref>{{Harvnb|Einstein|1917}}, cf. {{Harvnb|Pais|1982|loc=ch. 15e}}</ref> Em 1929, no entanto, o trabalho de [[Edwin Powell Hubble]] e outros mostrava que o nosso universo está se expandindo. Isto é prontamente descrito pelas soluções cosmológicas em expansão encontradas por [[Alexander Friedmann]] em 1922, que não exigem uma constante cosmológica. [[Georges Lemaître]] usou essas soluções para formular a versão mais antiga dos modelos do [[Big Bang]], em que nosso universo evoluiu a partir de um estado anterior extremamente quente e denso.<ref>O artigo original de Hubble é {{Harvnb|Hubble|1929}}; uma visão geral acessível é apresentada por {{Harvnb|Singh|2004|loc=ch. 2–4}}</ref> Einstein declarou mais tarde a constante cosmológica como o maior erro de sua vida.<ref>Conforme relatado por {{Harvnb|Gamow|1970}}. A condenação de Einstein seria prematura, confronte pode ser visto na seção [[#Cosmologia|Cosmologia]]</ref>

Durante esse período, a relatividade geral permaneceu como uma curiosidade entre as teorias físicas. Era claramente superior à [[Lei da gravitação universal|gravidade newtoniana]], sendo consistente com a relatividade especial e contabilizando vários efeitos inexplicados pela teoria clássica. O próprio Einstein havia mostrado em 1915 como sua teoria explicava o [[Precessão do periélio de Mercúrio|progresso anormal do periélio]] do planeta [[Mercúrio (planeta)|Mercúrio]] sem quaisquer parâmetros arbitrários.<ref>{{Harvnb|Pais|1982|pp=253–254}}</ref> Da mesma forma, uma expedição de 1919 liderada por [[Arthur Stanley Eddington]] confirmou a previsão da relatividade geral para a [[deflexão da luz]] das estrelas pelo Sol durante o [[Eclipse solar de 29 de maio de 1919|eclipse solar total de 29 de maio]],<ref>{{Harvnb|Kennefick|2005}}, {{Harvnb|Kennefick|2007}}</ref> tornando Einstein instantaneamente famoso.<ref>{{Harvnb|Pais|1982|loc=ch. 16}}</ref> No entanto, a teoria tornou-se consolidada na [[física teórica]] e na astrofísica apenas com os desenvolvimentos por volta de 1960 e 1975, agora conhecidos como a [[História da relatividade geral|era dourada da relatividade geral]].<ref>{{citar livro |ultimo=Thorne |primeiro=Kip |titulo=The future of theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen Hawking's 60th birthday |url=https://books.google.com/books?id=yLy4b61rfPwC |ano=2003 |local=Cambridg |editora=Cambridge University Press |pagina= |isbn=0-521-82081-2 |ref=harv }} [https://books.google.com/books?id=yLy4b61rfPwC&pg=PA74 Extract of page 74]</ref> Físicos começaram a entender o conceito de buraco negro e a identificar [[quasar]]es como uma das manifestações astrofísicas desses objetos.<ref>{{Harvnb|Israel|1987|loc=ch. 7.8–7.10}}, {{Harvnb|Thorne|1994|loc=ch. 3–9}}</ref> Testes cada vez mais precisos com o sistema solar confirmaram o poder preditivo teórico,<ref>Sections [[General relativity#Orbital effects and the relativity of direction|Orbital effects and the relativity of direction]], [[General relativity#Gravitational time dilation and frequency shift|Gravitational time dilation and frequency shift]] and [[General relativity#Light deflection and gravitational time delay|Light deflection and gravitational time delay]], and references therein</ref> e a cosmologia relativística também se tornou passível de testes de observação direta.<ref>Seção Cosmologia e referências nela contidas; o desenvolvimento histórico está em {{Harvnb|Overbye|1999}}</ref>

== Princípio da Relatividade Geral  ==
O postulado base da Teoria da Relatividade Geral, chamado de [[Princípio da equivalência]], especifica que sistemas acelerados e sistemas submetidos a campos gravitacionais são fisicamente equivalentes. Nas próprias palavras de Einstein em seu trabalho de 1915:

: ''Nós iremos portanto assumir a completa equivalência física entre um campo gravitacional e a correspondente aceleração de um sistema de referência. Esta hipótese estende o princípio da relatividade especial para sistemas de referência uniformemente acelerados.''

Por esse princípio, uma pessoa numa sala fechada, acelerada por um foguete com a mesma aceleração que a da gravidade na [[Terra]] (<math>9,8184 m/s^2</math>), não poderia descobrir se a força que a prende ao chão tem origem no campo gravitacional terrestre ou se é devida à aceleração da própria sala através do espaço e vice-versa. Uma pessoa em uma sala em [[órbita]] ou queda livre em direção a um planeta não saberá dizer por observação local se encontra em órbita ao redor de um planeta ou no espaço profundo, longe de qualquer corpo celeste. Esse experimento mental é conhecido na literatura como o ''elevador de Einstein''.

Esse princípio é válido apenas para vizinhanças pequenas do ponto considerado, e determina o chamado referencial localmente inercial através de uma lei de transformação entre o referencial do observador (genérico) e um em que a Física se assemelha àquela da [[Relatividade restrita]].

Uma consequência importante do Princípio da Equivalência é a identificação entre os conceitos de massa inercial e massa gravitacional. Embora isso pareça óbvio, conceitualmente elas são distintas. A massa inercial é aquela expressa na [[segunda lei de Newton]], <math>\vec{F}=m\vec{a}</math>, e corresponde à resistência dos corpos em mudar seu estado de movimento relativo. A massa gravitacional é aquela da [[lei da gravitação universal]] de Newton, e corresponde à capacidade que um corpo tem de atrair outro. Identificando um referencial acelerado a uma força gravitacional, esses conceitos se confundem, e as massas se tornam a mesma entidade. A diferença medida experimentalmente entre elas é inferior, em proporção, a <math>10^{-9}</math>.

O Princípio da Equivalência tem, portanto, como principal consequência, a equivalência entre [[Massa#Definições de massa na mecânica newtoniana|massa gravitacional]] e [[Massa#Definições de massa na mecânica newtoniana|inercial]].

=== Avanço do periélio de Mercúrio ===
Na física newtoniana, sob as [[hipóteses padrões da astrodinâmica]] um sistema com dois corpos de um objeto solitário orbitando uma massa esférica iria traçar uma [[elipse]], que na verdade foi elaborada por Kepler no século XVII; com a massa esférica no [[foco (geometria)|foco]] do sistema. O ponto de maior aproximação, denominado [[periastro]] (e para o Sistema Solar em particular, periélio), é fixo. Existem inúmeros efeitos presentes em nosso sistema solar que causam a precessão do periélio dos planetas que translam em torno do Sol. Estes efeitos são principalmente por causa da presença de outros planetas, que perturbam suas órbitas mutuamente. Outro efeito é a [[Esferóide oblato|oblitude]] solar, que produz apenas uma pequena contribuição. A taxa anômala de precessão do periélio da órbita de Mercúrio foi reconhecida primeiramente em 1859 como um problema da [[mecânica celeste]], por [[Urbain Le Verrier]]. Sua reanálise das observações do [[trânsito de Mercúrio]] disponíveis sobre o disco solar entre 1697 e 1848 mostrou que a taxa atual da precessão estava em desacordo com a calculada a partir da teoria de Newton, por uma quantidade estimada inicialmente como 38 segundos de arco por século e posteriormente estimada em 43 segundos de arco.<ref>U. Le Verrier (1859), (in French), [http://www.archive.org/stream/comptesrendusheb49acad#page/378/mode/2up "Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète"], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (Paris), vol. 49 (1859), pp.379–383.</ref> Na teoria da relatividade geral, esta precessão remanescente, ou mudança na orientação da elipse orbital dentro de seu plano orbital, é explicada pela gravitação sendo mediada pela curvatura do espaço tempo. Einstein demonstrou que a relatividade geral predizia exatamente a diferença observada no periélio mercuriano. Este foi um poderoso fator motivante para a adoção da teoria de Einstein.<ref>{{citar web |url=http://revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2015/11/5-conceitos-que-foram-revolucionados-pela-teoria-geral-da-relatividade.html |titulo=5 conceitos que foram revolucionados pela Teoria da Relatividade Geral |autor =Mariana Chinaglia ( "UFSCar / Revista Galileu" ) e João Mello Borroul  |acessodata=3 de junho de 2016 |arquivourl=http://web.archive.org/web/20151213152242/http://revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2015/11/5-conceitos-que-foram-revolucionados-pela-teoria-geral-da-relatividade.html |arquivodata=13/12/2015}}</ref>

Embora as medições anteriores das órbitas dos planetas terem sido feitas com telescópios convencionais, as mais exatas medições são feitas atualmente com [[astronomia de radar|radares]]. A precessão total observada de Mercúrio é de 5600 arcos de segundo por século em relação à posição do [[equinocio|equinocio primaveril]] do sol. Esta precessão é devida às seguintes causas (os números são cotados para os valores modernos):

{| class="wikitable" border="1" style="margin-left:auto; margin-right:auto;"
|+'''Fontes da precessão do periélio de Mercúrio'''
|-
! Quantidade (arcsec/século) !! Causa 
|-
| 5025,6 || Coordenadas (devido a [[precessão dos equinócios]])
|- 
| 531,4 || Gravidade de outros planetas
|-
| 0,0254 || Oblitude do Sol ([[quadrupolo|momento quadrulopo]])
|-
| 42,98±0,04 || Relatividade geral
|-
| 5600,0 || Total
|-
| 5599,7 || Observada
|}

Assim, a predição da relatividade geral justifica a precessão faltante, com a discrepância restante incluída no erro observado. Todos os outros planetas experimentam mudanças no periélio; porém, uma vez que estão mais afastados do sol e têm velocidades menores, suas mudanças são menores e mais difíceis de observar. Por exemplo, o periélio da órbita terrestre é afetado em aproximadamente 5 arcos de segundo por século.

== A ligação com a geometria ==
{{Sem-fontes|data=junho de 2010| arte=| Brasil=| ciência=| geografia=| música=| Portugal=| sociedade=|1=|2=|3=|4=|5=|6=}}
O Princípio da Equivalência põe em pé de igualdade todos os [[referencial|referenciais]]. Uma consequência disso é que um observador movendo-se livremente em seu referencial pode ver-se em um estado de movimento diferente do visto por um observador em outro ponto do espaço. Voltando ao exemplo do elevador: um observador dentro de uma nave espacial em órbita se vê completamente livre de forças inerciais, o que para ele significa que o seu referencial é localmente inercial (em repouso, ou movendo-se uniformemente, segundo a [[primeira lei de Newton]]). Um observador na Terra constata que a nave não está em movimento retilíneo, mas em órbita ao redor da Terra.

A maneira de se lidar com essas diferenças é escrever em um referencial genérico a equação de movimento observada no referencial localmente inercial, através da equação que determina a transformação de referenciais.

No referencial localmente inercial, não há acelerações nas trajetórias das partículas, o que significa:

:<math>
\frac{\partial^2x_{\mu}}{\partial \tau^2} = 0
</math>

onde <math>\mu</math> é um índice que varia de 0 a 3, sendo <math>x_0</math> a coordenada do tempo, e <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> as coordenadas espaciais, e <math>\tau</math> é o [[tempo próprio]] do referencial.

A equação que rege a mudança de referenciais é genericamente escrita como:

:<math>
dx^{\prime}_{\mu} = \frac{\partial x^{\prime}_{\mu}}{\partial x^{\nu}} dx^{\nu}
</math>

que corresponde ao [[jacobiano]] associado à mudança de coordenadas.

Aplicando essa lei de transformação na equação de movimento, resulta:

:<math>
\frac{\partial^2x^{\mu}}{\partial \tau^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial\tau}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial\tau} = 0
</math>

Essa é a ''equação da geodésica'', que nada mais é do que a equação de movimento de um corpo em um referencial genérico. Ou seja, se em um referencial localmente inercial um corpo executa [[movimento retilíneo uniforme]], em um referencial genérico o mesmo corpo percorrerá ao longo do espaço-tempo uma curva chamada de ''[[geodésica]]'', que não necessariamente é uma linha reta nesse referencial.

O objeto <math>\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}</math> que aparece na equação da geodésica é chamado de ''conexão'' (um dos [[símbolos de Christoffel]]), e representa uma medida de quanto um dado referencial não é inercial. Nos referenciais inerciais as conexões são sempre iguais a zero.

Assim, uma vez que as [[geodésica]]s são diferentes, as [[geometria]]s do '''[[espaço-tempo]]''' nos dois casos são diferentes. Isso é uma característica puramente geométrica do espaço-tempo, que deve ser expressa em função apenas das suas propriedades.

=== Geometria do espaço-tempo ===
[[Ficheiro:Geodesicastatic.gif|thumb|Geodésica no espaço-tempo de uma partícula parada em um ponto do plano x-y]]
A ideia importante para se entender a fundo os conceitos básicos da Relatividade geral é entender o que significa o movimento de um corpo neste espaço-tempo de 4 dimensões. Não existe movimento espacial sem movimento temporal. Isto é, no espaço-tempo '''não é possível a um corpo se mover nas dimensões espaciais sem se deslocar no tempo'''. Mas mesmo quando não nos movemos espacialmente, estamos nos movendo na dimensão temporal (no tempo). Mesmo sentados em nossa cadeira lendo este artigo, estamos nos movendo no tempo, para o futuro. Este movimento é tão válido na geometria do espaço-tempo quanto os que estamos habituados a ver em nosso dia a dia. Portanto, '''no espaço-tempo estamos sempre em movimento''', e a ''nossa ideia de estar parado'' significa apenas que encontramos uma forma de não nos deslocarmos nas direções espaciais mas apenas no tempo (veja o exemplo deste tipo de geodésica na figura ao lado).

Essa afirmação é importantíssima, e merece esclarecimentos. O motivo é simples: no plano espacial, se um objeto se desloca de um ponto ao outro sem se deslocar na direção temporal, a velocidade deste deslocamento será infinita, já que a velocidade inclui um deslocamento pelo intervalo de tempo, que neste caso seria zero. E da Teoria da [[Relatividade especial]] sabe-se que a maior velocidade possível para algo material, no nosso universo, é a [[velocidade da luz]]. Portanto este resultado da Relatividade especial cria imediatamente no nosso espaço-tempo '''duas regiões distintas''': uma região a que podemos ter acesso (chamada de tipo '''tempo'''), e regiões às quais não podemos ter acesso imediato (chamadas de tipo '''espaço'''). Isto é uma característica diferente da de um espaço de 4 dimensões qualquer, por exemplo, onde não temos restrição alguma entre as regiões do espaço, nem uma direção especial.

A relatividade restrita, portanto, impõe sobre a geometria do espaço-tempo uma restrição fundamental e diversa do que esperaríamos de um espaço euclidiano de quatro dimensões, por exemplo. Esta diferença se reflete na estrutura básica da geometria. 

Podemos mostrar como estas diferenças se refletem na noção de distância, que na Relatividade Especial é chamada de '''intervalo''', para não invocar a mesma ideia de distância euclidiana. Se quisermos medir a distância entre dois pontos em um espaço de 3 dimensões, usamos a [[teorema de Pitágoras|fórmula de Pitágoras]]:

:<math> s^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 </math> 

Incluindo o tempo para termos o espaço-tempo, poderíamos imaginar uma fórmula equivalente para a distância entre dois pontos:

:<math> s^2 =  c^2 (t_1 - t_2)^2 + (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2  </math> 

Note que tivemos o cuidado de multiplicar o termo temporal por ''c'', a velocidade da luz no vácuo, para termos um comprimento, uma vez que não faz sentido somar tempo com distância. Para pontos muito próximos (lembre-se que temos que manter nossa análise local para podermos garantir que estamos em um referencial inercial), podemos escrever.

:<math> \Delta s^2 =  c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2  = c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta \vec{x} )^2 </math> 

Mas isto não reflete a característica essencial do espaço-tempo que estamos discutindo. A distância acima é simplesmente a distância em espaço euclidiano de 4 dimensões. O que sabemos é que as velocidades espaciais possíveis são sempre menores que a velocidade da luz:

:<math> \left| \frac{d}{dt} \vec{x} \right| \leq c  </math> 

E isto, de certa forma, deve ser refletido pela geometria que estamos procurando. E está, como iremos demonstrar. Elevando ao quadrado para eliminar o [[valor absoluto|módulo]] acima, e reorganizando os termos, podemos escrever nossa restrição como:

:<math> (d \vec{x} )^2 \leq c^2 dt^2  </math> 

Repare que a expressão acima é o equivalente matemático do que acabamos de dizer: deslocamentos espaciais válidos devem ser menores que <var>c dt</var> para que a velocidade do deslocamento seja menor que a da luz. Comparando esta expressão com a da distância em um [[espaço euclidiano]], dada acima, vemos uma semelhança. Podemos entender agora que o termo ''ds'' :

:<math> ds^2 = c^2 dt^2 - d \vec{x}^2   \geq 0  </math>

pode ser utilizado como definição para o cálculo de ''intervalos'' no espaço-tempo. 

Para completar, precisamos agora entender como esta medida de intervalos pode ser generalizada para um sistema de coordenadas qualquer.

Em quatro dimensões, usando a notação de Einstein para somas de vetores, podemos escrever o intervalo como sendo o seguinte:

:<math>
ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}
</math>

que nada mais é do que o [[teorema de Pitágoras]] generalizado a quatro dimensões. No caso da [[Relatividade restrita]], o [[tensor]] métrico <math>g_{\mu\nu}</math> é dado pela seguinte matriz:

:<math>
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{bmatrix}
</math>

Na relatividade geral, a presença de matéria e energia altera os termos dessa matriz, alterando a métrica do espaço-tempo. É importante notar que a métrica é uma característica do espaço-tempo e não do referencial; o que muda ao se passar de um sistema de coordenadas para outro é a expressão da métrica no sistema de coordenadas. Assim, ela é invariante para todos os referenciais.

Podemos assim determinar uma expressão para as conexões que depende unicamente da métrica em cada ponto.

No entanto, para todo ponto no espaço-tempo podemos definir um referencial localmente inercial, que tem a conexão igual a zero. Para medir precisamente a diferença entre a geometria de um ponto a outro, é necessário que sejam analisadas as [[derivada]]s das conexões.

=== Curvatura do espaço-tempo ===
[[Ficheiro:Geodesicorbit.gif|thumb|Geódesica no espaço-tempo de uma partícula próxima a um corpo material]]
[[Ficheiro:Gravitation space source.png|left|thumb|200px|Uma analogia para a curvatura do espaço-tempo (2D) causada por uma massa. Uma analogia mais precisa, seria imaginar a parte vermelha em todos os eixos Y da imagem. A imagem representa somente um valor no vetor Y.]]
Imaginemos agora um observador no espaço profundo. Suponha que ele esteja parado, isto é, em um movimento geodésico que é uma linha reta diretamente para o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu lado uma massa suficientemente grande, a deformação que esta massa causará no espaço-tempo em sua vizinhança irá curvar e alterar as coordenadas originais do espaço-tempo no local. O efeito é que aquele movimento que era apenas uma linha reta na direção temporal agora passará a ocorrer também nas novas coordenadas espaciais. A linha se curva e se enrola em torno do corpo enquanto ele se move na direção do tempo futuro. E nosso observador começa a se mover espacialmente devido à distorção da geometria causada pela massa, não devido à presença de uma força. Isto era o efeito que se costuma chamar de gravidade mas que, à luz desta teoria, é uma distorção da geometria do espaço-tempo devido à presença de uma massa.

Para ajudar a entender intuitivamente o conceito de [[curvatura]] do espaço-tempo por um objeto massivo é comum usar-se uma analogia com a deformação causada por uma bola pesada numa membrana elástica. (É evidentemente uma representação um tanto «fantasiosa», pois mostra apenas a curvatura espacial de um espaço de duas dimensões, sem levar em consideração o efeito do tempo.) Quanto maior for a massa do objeto, maior será a curvatura da membrana. Se colocarmos perto da cova criada um objeto mais leve, como uma bola de ping-pong, ela cairá em direção à bola maior. Se, em vez disso, atirarmos a bola de ping-pong a uma velocidade adequada em direção ao poço, ela ficará a "orbitar" em torno da bola pesada, desde que o atrito seja pequeno. E isto é, de algum modo, análogo ao que acontece quando a Lua orbita em torno da Terra, por exemplo. 

Na relatividade geral, os fenômenos que na mecânica clássica se considerava serem o resultado da ação da força da [[gravidade]], são entendidos como representando um movimento inercial num espaço-tempo curvo. A massa da Terra encurva o espaço-tempo e isso faz com que tenhamos tendência para cair em direção ao seu centro. 

O ponto essencial é entender que não existe nenhuma «força da gravidade» atuando à distância. Na relatividade geral, não existe ação à distância e a gravidade não é uma força mas sim uma deformação geométria do espaço encurvado pela presença nele de massa, energia ou momento. E uma [[geodésica]] é o caminho mais curto entre dois pontos, numa determinada geometria. É a trajetória que segue no espaço-tempo um objeto em queda livre, ou seja, livre da ação de forças externas. Por isso, a trajetória orbital de um planeta em volta de uma estrela é a projeção num espaço 3D de uma geodésica da geometria 4D do espaço-tempo em torno da estrela. 

Se os objetos tendem a cair em direção ao solo é apenas devido à curvatura do espaço-tempo causada pela Terra. Quando um objeto foi lançado no ar, ele sobe e depois cai. Mas não é porque haja uma força a puxá-lo para baixo. Segundo Einstein, o objeto segue apenas uma geodésica num espaço-tempo curvo. Quando está no ar, não há nenhuma força a agir sobre ele, exceto a da resistência do ar. Se o vemos a acelerar, é porque, quando estamos parados em cima do solo, a nossa trajetória não segue uma «linha reta» (uma geodésica), porque há uma força que age sobre nós: a força do solo a puxar-nos para cima. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» resulta apenas do fato de a superfície da Terra nos impedir de cair em queda-livre segundo a linha geodésica que a curvatura do espaço-tempo nos impõe. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» é apenas o resultado de estarmos submetidos a uma aceleração física contínua causada pela resistência mecânica da superfície da Terra. A sensação de peso que temos resulta do fato de a superfície da Terra nos «empurrar para cima».

Uma pessoa que cai de um telhado de uma casa não sente, durante a queda, nenhuma força gravitacional. Sente-se «sem peso». Se largar um objeto, ele flutuará a seu lado, exatamente com a mesma aceleração constante (na ausência da resistência do ar). 

Mas, como já se explicou, a analogia apresentada dificilmente se pode considerar uma boa representação do que realmente acontece. O exemplo que apresentamos anteriormente permite elucidar de um modo mais correto a [[curvatura]] do espaço-tempo, através de efeitos sobre as linhas geodésicas. Em cada ponto do espaço disparamos ou apenas soltamos uma pequena massa de prova e observamos a sua trajetória. De um ponto de seu referencial inercial dispare uma massa em cada um dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas continuarem indefinidamente em linha reta, você estará em um [[espaço-tempo]] plano ([[espaço de Minkowski]]). Caso contrário, as trajetórias poderão lhe dar informações sobre a curvatura na região. Esta é a melhor maneira pela qual podemos esperar descrever um objeto que possui 4 dimensões para seres que vivem em apenas 3 dimensões.

== Matemática da relatividade geral ==
{{Artigo principal|Matemática da relatividade geral}}
Para estender as leis da física para o contexto de sistemas de coordenadas gerais, um extenso arsenal de ferramentas matemáticas deve ser dominado. Mesmo antes do advento da Relatividade Geral, na [[mecânica clássica]], por exemplo, uma quantidade enorme de trabalhos foram desenvolvidos para se trabalharem os sistemas físicos em diversos [[sistema de coordenadas|sistemas de coordenadas]]: [[Coordenadas cartesianas|sistemas de coordenadas cartesianas]], [[Coordenadas esféricas|esféricas]], [[Coordenadas cilíndricas|cilíndricas]], etc. Apesar dos nomes, nenhum destes sistemas de coordenadas utilizados na [[Física Matemática]] é geral o bastante para causar alteração na geometria. Eles são formas de se aproveitarem as simetrias do problema e ajudam, portanto, a simplificar a solução. Na Relatividade Geral precisamos estender este conhecimento para transformações de coordenadas que alterem a geometria do espaço-tempo. Para isto são necessárias uma síntese e uma generalização deste conhecimento matemático em um novo cálculo, o [[Cálculo Tensorial]]. Por sorte, esta síntese estava sendo criada pelo matemático [[Tullio Levi-Civita]], baseando-se nos trabalhos anteriores de Hamilton e [[Gregorio Ricci-Curbastro]], na mesma época em que Einstein iniciou seu trabalho na Relatividade Geral. De fato, Einstein aprendeu os conceitos diretamente de Levi-Civitta. 

Com esta ferramenta nova, podemos generalizar o conceito de cálculo de intervalos do espaço-tempo, introduzindo o tensor métrico para o espaço-tempo:

: <math>ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}  </math>

A notação com índices, chamada notação clássica do [[cálculo tensorial]], possui a convenção de que índices repetidos, um superior e outro inferior, representam uma soma no conjunto de índices. No nosso caso estes índices variam de 0 até 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas espaciais. Esta é a mesma expressão que obtivemos anteriormente se escrevermos o tensor <math>g_{ij}</math> da [[Relatividade Restrita]] de forma matricial como:
 
:<math>g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{bmatrix}</math>

O ponto importante a se entender aqui é que, no espaço-tempo curvo, o tensor métrico não possui mais seus elementos constantes como acima. Eles passam a ser funções das coordenadas espaço-temporais que contêm informações sobre a geometria local. Mesmo assim, a expressão para o cálculo de intervalos ainda continua sendo escrita da mesma forma. E isto reflete a ideia básica do cálculo tensorial: permitir escrever quaisquer equações independentemente do sistema de coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peça fundamental da teoria da Relatividade Geral e é um tensor simétrico, isto é <math>g_{\mu\nu} =  g_{\nu\mu} </math>. Isto significa que em vez de termos 16 componentes <math>g_{\mu\nu}</math>, temos ''apenas'' 10 componentes independentes. 

O tensor métrico possui informações não só sobre como se calculam as distâncias, mas como se realizam outras operações geométricas em espaços curvos, como o [[transporte paralelo]] de [[vetor]]es e outros objetos matemáticos. É através dele que se obtém a expressão para a [[curvatura]] do espaço-tempo e se obtém o [[Tensor de Einstein]], utilizado na equação da Relatividade Geral, que sumariza a interação da geometria com a matéria:

:<math>G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {R \over 2}  g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {-8 \pi G \over c^2} T_{\mu\nu}</math>

onde <math>G_{\mu\nu}</math> é o tensor de Einstein, <math>R_{\mu\nu}</math> são as componentes do [[tensor de curvatura de Ricci]], <math>R</math> é a [[curvatura escalar]], <math>g_{\mu\nu}</math> são as componentes do [[tensor métrico]], <math>\Lambda</math> é a [[Constante cosmológica]], <math>T_{\mu\nu}</math> são as componentes do [[tensor de tensão-energia]] que descreve a matéria e energia em um dado ponto do espaço-tempo e <math>G</math> é a [[Constante de gravitação]], a mesma da [[lei da gravidade|lei de Newton da gravidade]]. O tensor de Ricci e a curvatura escalar são derivados do tensor métrico, como dito acima.

== Soluções da equação de Einstein ==
{{AP|[[Equações de campo de Einstein]]}}
A primeira solução exata para a equação de Einstein foi proposta por [[Karl Schwarzschild]] na chamada [[Métrica de Schwarzschild]], e é a solução para o caso de uma massa esférica estacionária, isto é, sem rotação da massa. Esta foi também a primeira solução que descreve um [[Buraco Negro|buraco negro]].

Soluções da equação de Einstein são obtidas a partir de uma determinada métrica. Propor uma métrica correta é uma parte importante e difícil do problema. Estas são algumas das soluções conhecidas da Equação de Einstein:

# [[Métrica de Schwarzschild]].
# [[Métrica de Kerr]], que descreve o caso de uma massa girante esférica.
# [[Métrica de Reissner-Nordström]], para o caso de uma métrica esférica com carga elétrica.
# [[Métrica de Kerr-Newman]], para o caso de um massa girante com carga elétrica.
# [[Métrica de Friedmann-Robertson-Walker]] (FRW), usada em cosmologia como modelo de um universo em expansão.
# [[Métrica de Gödel]], usada em cosmologia como modelo de um universo em rotação.
# [[Métrica de ondas-pp]] que descreve vários tipos de ondas gravitacionais.

As soluções (1), (2), (3) e (4) descrevem [[Buraco Negro|buracos negros]].

== Situação atual ==
A relatividade geral tem emergido como um modelo altamente bem-sucedido de gravitação e cosmologia, que até agora tem subsistido a cada prova inequívoca de observação e experimentação. Mesmo assim, há fortes indícios de que a teoria seja incompleta.<ref>Cf. {{Harvnb|Maddox|1998|loc=pp. 52–59 and 98–122}}; {{Harvnb|Penrose|2004|loc=seção 34.1 e capítulo 30}}.</ref> O problema da gravitação quântica e a questão da realidade da [[singularidade gravitacional]] permanecem abertos. Dados de observação que são tomados como prova de [[energia escura]] e [[matéria escura]] poderiam indicar a necessidade de uma nova física e, enquanto a chamada ''[[Anomalia das Pioneers]]'' ainda poderia admitir uma explicação convencional, ela também poderia ser um prenúncio de uma nova física.<ref>{{Harvnb|Nieto|2006}}.</ref> Mesmo considerando essas questões, a relatividade geral é rica em possibilidades de exploração adicional. Matemáticos relativistas procuram entender a natureza das singularidades e das propriedades fundamentais das equações de Einstein,<ref>{{Harvnb|Friedrich|2005}}</ref> e simulações de computador cada vez mais poderosas (como aquelas que descrevem fusão de buracos negros) são executadas.<ref> Para uma análise dos diversos problemas e as técnicas desenvolvidas para superá-los, consulte {{Harvnb|Lehner|2002}}.</ref><ref>Veja {{Harvnb|Bartusiak|2000}} para um relato até 2000; notícias atualizadas podem ser encontradas nos sites que investigam as colaborações mais importantes tais como [http://geo600.aei.mpg.de GEO 600] e [http://www.ligo.caltech.edu/ LIGO].</ref><ref>Para estudos científicos mais recentes sobre as polarizações das ondas gravitacionais de binários compactos, consulte {{Harvnb|Blanchet|Faye|Iyer|Sinha|2008}}, e {{Harvnb|Arun|Blanchet|Iyer|Qusailah|2007}}; para uma revisão do trabalho em binários compactos, consulte {{Harvnb|Blanchet|2006}} e {{Harvnb|Futamase|Itoh|2006}}; para uma revisão geral dos testes experimentais da relatividade geral, consulte {{Harvnb|Will|2006}}.</ref> Um século após a sua publicação, a relatividade geral continua a ser uma área muito ativa de investigação.<ref>{{citar periódico |ultimo=Turyshev |primeiro=S. G. |ultimo2= |primeiro2= |ano=2008 |titulo=Experimental tests of general relativity |url= |periódico=Annual Review of Nuclear and Particle Science |volume=58 |número= |páginas=207-248 |doi= }}</ref>

== Ver também ==
* [[Deflexão da luz]]
* [[Cálculo de Ricci]]
* [[Propulsão Alcubierre]]
* [[Ação de Einstein–Hilbert]]
* [[Controvérsia sobre a paternidade da teoria da relatividade]]
* [[Geometria e Experiência]]

{{Referências|col=2}}

== Bibliografia ==
* {{Citar periódico |último =Arun |primeiro =K.G. |último2 =Blanchet |primeiro2 =L. |último3 =Iyer |primeiro3 =B. R. |último4 =Qusailah |primeiro4 =M. S. S. |ano=2007 |título=Inspiralling compact binaries in quasi-elliptical orbits: The complete 3PN energy flux | id={{arxiv|0711.0302}} }}

* {{Citar livro |último=Bartusiak |primeiro=Marcia |título=Einstein's Unfinished Symphony: Listening to the Sounds of Space-Time |publicado=Joseph Henry Press |local=Berkley |ano=2000 |isbn=978-0-425-18620-6 |ref=harv }}

* {{Citar periódico |último =Blanchet |primeiro =L. |último2 =Faye |primeiro2 =G. |último3 =Iyer |primeiro3 =B. R. |último4 =Sinha |primeiro4 =S. |ano=2008 |título=The third post-Newtonian gravitational wave polarisations and associated spherical harmonic modes for inspiralling compact binaries in quasi-circular orbits | id={{arxiv|0802.1249}} |ref=harv }}

* {{Citar periódico |último =Blanchet |primeiro =Luc |ano=2006 | url=http://www.livingreviews.org/lrr-2006-4 |título=Gravitational Radiation from Post-Newtonian Sources and Inspiralling Compact Binaries |periódico=Living Rev. Relativity | volume=9 |acessodata= }}

* {{Citar periódico |último =Friedrich |primeiro =Helmut |título=Is general relativity `essentially understood'? |periódico=Annalen Phys. | volume=15 |ano=2005 |páginas=84–108 |url=http://www.arxiv.org/abs/gr-qc/0508016 |doi=10.1002/andp.200510173 |ref=harv }}

* {{Citar periódico |último =Futamase |primeiro =T. |último2 =Itoh |primeiro2 =Y. |ano=2006 | url=http://www.livingreviews.org/lrr-2007-2 |título=The Post-Newtonian Approximation for Relativistic Compact Binaries |periódico=Living Rev. Relativity |volume=10 |acessodata= }}

* {{Citar periódico |último =Lehner |primeiro =Luis |ano=2002 |título=Numerical Relativity: Status and Prospects | id={{arxiv|gr-qc|0202055}} |ref=harv }}

* {{Citar periódico |último =Lehner |primeiro =Luis |título=Numerical Relativity: A review |periódico=Class. Quant. Grav. |volume=18 |ano=2001 |páginas=R25–R86 | doi=10.1088/0264-9381/18/17/202 | id={{arxiv|gr-qc|0106072}} }}

* {{citar livro |ultimo1=Maddox |primeiro1=John |autorlink1=John Maddox |titulo=What Remains To Be Discovered |url= |ano=1998 |local=Londres |editora=Macmillan |pagina= |isbn=0-684-82292-X |ref=harv }}

* {{Citar periódico |último =Nieto |primeiro =Michael Martin |título=The quest to understand the Pioneer anomaly |periódico=EurophysicsNews | volume=37 |número=6 |ano=2006 |páginas=30–34 |url=http://www.europhysicsnews.com/full/42/article4.pdf |formato=PDF |ref=harv }}

* {{citar livro |ultimo1=Pais |primeiro1=Abraham |autorlink1=Abraham Pais |titulo='Subtle is the Lord&nbsp;...' The Science and life of Albert Einstein |url= |local=Oxford |ano=1982 |editora=Oxford University Press |pagina= |isbn=0-19-853907-X |ref=harv }}

* {{citar periódico |ultimo1=Penrose |primeiro1=Roger |autorlink1=Roger Penrose |ano=1965 |titulo=Gravitational collapse and spacetime singularities |url= |periódico=Physical Review Letters |volume=14 |número= |páginas=57–59 |doi=10.1103/PhysRevLett.14.57 }}

* {{Citar periódico |último =Penrose |primeiro =Roger |autorlink =Roger Penrose |ano=1969 |título=Gravitational collapse: the role of general relativity |periódico=Rivista del Nuovo Cimento |volume=1 |páginas=252–276 }}

* {{Citar livro |último =Penrose |primeiro =Roger |autorlink=Roger Penrose |título=The Road to Reality |editora= A. A. Knopf |ano=2004 |isbn=0-679-45443-8 |ref=harv }}

* {{Citar livro |último1=Will |primeiro1=Clifford M. |autorlink1=Clifford Martin Will |título= Theory and experiment in gravitational physics |publicado= Cambridge University Press |ano= 1993 | isbn=0-521-43973-6}}

* {{Citar periódico |último =Will |primeiro =Clifford M. |autorlink =Clifford Martin Will |ano=2006 | url=http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3 |título=The Confrontation between General Relativity and Experiment |periódico=Living Rev. Relativity |ref=harv }}

== Ligações externas ==
{{Commonscat|General relativity|Relatividade geral}}
* {{Link|1=pt|2=http://www.cienciahoje.org.br/revista/materia/id/990/n/relatividade_geral|3=Relatividade Geral|4=no Ciência Hoje}}
* {{Link|1=pt|2=http://www2.uol.com.br/sciam/reportagens/legado_da_relatividade.html|3=Legado da relatividade|4=no Scientific American Brasil}}
* {{Link|1=pt|2=http://www.fisica.net/relatividade/|3=Relatividade|4=no FisicaNET}}
* {{Link|1=pt|2=http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1678-31662005000400009&script=sci_arttext|3=Geometria e experiência (1921)|4=no SciELO}}

{{Einstein}}
{{Astronomia}}

{{Portal3|Física|Astronomia}}

[[Categoria:Relatividade]]