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O '''Paradoxo dos Gêmeos''', ou '''Paradoxo de Langevin''', é um [[experimento mental]] envolvendo a [[dilatação temporal]], uma das consequências da [[Relatividade restrita]].
Nele, um homem que faz uma viagem ao espaço numa nave de grande velocidade, voltará em casa mais novo que seu gêmeo que ficou em Terra, movendo-se a velocidades cotidianas. 

==Da dilatação temporal==
{{Ver artigo principal|[[Dilatação do tempo]]}}

A Relatividade restrita prevê que, dado um [[referencial inercial]] ''S'' e um outro referencial inercial ''S' '' tal que ''S' '' se move com velocidade constante ''v'' em relação a ''S'', por meio de uma [[Transformação de Lorentz]] entre referenciais, encontramos a relação entre as coordenadas ''x,y,z'' e ''t'' do sistema ''S'' e as coordenadas ''x',y',z' '' e ''t' '' do sistema ''S' ''.

Usando a transformação de Lorentz para o tempo, obtemos

<math>\Delta t=\frac{t'-t_{0}'}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.</math>

Como ''v'' é obrigatoriamente menor que ''c'', temos que, para o corpo em movimento, o tempo corre mais lentamente do que para o corpo em repouso.

==Do enunciado==
Dois [[gêmeos]] ''A'' e ''B'' idênticos, estando o irmão ''A'' em uma nave espacial na qual ele viajará a uma velocidade muito próxima de ''c'' ([[velocidade da luz]]) - enquanto o outro, ''B'', permanece em repouso na [[Terra]]. Para ''B'', a nave está se movendo, e por conta disso ele pode afirmar que o tempo está correndo mais lentamente para seu irmão ''A'' que está na nave.

Analogamente, ''A'' vê a Terra se afastar, pelo que ele pode, da mesma forma, afirmar que o tempo corre mais lentamente para ''B''.

==Da solução==
Em primeiro lugar, o enunciado parte de uma premissa errada.
No quadro da [[relatividade restrita]], a simultaneidade de acontecimentos não é garantida entre referenciais movendo-se um em relação ao outro, logo, não faz sentido comparar o correr do tempo para o gêmeo ''A'' com o correr do tempo para o gêmeo ''B'' sem referir qual o referencial em que essa comparação está a ser feita. Por isso, concluímos que essa teoria é relativamente linear.

O que o gêmeo ''B'' pode afirmar é que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão ''A'' '''quando medido no seu referencial''' (de ''B''). Do mesmo modo, o gêmeo ''A'' pode afirmar que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão ''B'' '''quando medido no seu referencial''' (de ''A''). A situação dos dois gêmeos é simétrica enquanto cada qual estiver no seu [[referencial inercial]]. Lembrando que os efeitos relativísticos são sempre atribuídos ao outro.

Mas existe uma quebra de [[simetria]] fundamental no problema: somente o irmão ''B'' pode afirmar que esteve todo o tempo em um mesmo [[referencial inercial]], a Terra, enquanto que o irmão ''A'' saiu do referencial inercial Terra e foi para um referencial movendo-se a velocidade constante em relação ao primeiro; mais tarde, teve de inverter o sentido do movimento (outra mudança de referencial inercial) e, finalmente, abrandar e regressar ao referencial em que se encontrava à partida (uma terceira mudança de referencial inercial).

Assim, a comparação do correr do tempo pode ser feita no referencial inercial da Terra - que foi onde ''B'' sempre esteve e de onde ''A'' partiu e chegou - e conclui-se que ''B'' é mais velho do que ''A''.

Estas mudanças de referencial inercial implicam uma [[aceleração]], e ''A'', enquanto acelerado, encontra-se num referencial '''não-inercial'''.

=Movimento acelerado=
Um grande mito é que não é possível se calcular acelerações na Relatividade Restrita, deixando a solução do paradoxo fora do escopo dessa teoria. No entanto isso não é verdade e é perfeitamente possível calcular o movimento de um corpo acelerado na Relatividade Restrita, permitindo calcular o movimento desse corpo. 

Vamos calcular o movimento de uma partícula relativística submetida a um 'movimento uniformemente acelerado', ou seja, a cada instante, no referencial de repouso existe uma aceleração constante na direção <math>z</math>, escrita como <math>\gamma_0</math>.

Primeiramente, observemos que no referencial "tangente" de repouso da partícula, 

:<math>
\frac{d^2x^{\mu}}{d\tau^2}=
\left(
\begin{array}{c}
 0  \\
   \vec{\gamma}_0  
\end{array}
\right)
</math>

Para descobrir qual o o quadrivetor no referêncial de laboratório, fazemos uma transformação de Lorentz, e portanto:
:<math>
\frac{d^2x^{\mu}}{d\tau^2}=
\left(
\begin{array}{c}
 \frac{\vec{v}\cdot \vec{\gamma}_0}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}  \\
   \frac{\vec{\gamma}_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{array}
\right)
</math>

Sabemos também que <math>d\tau=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}</math>, e podemos então chegar a uma equação para a quadrivelocidade

:<math>
\frac{d}{dt}\left(\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\right)=\frac{d}{dt}(u^{\mu})=\left(
\begin{array}{c}
 \frac{\vec{v}\cdot \vec{\gamma}_0}{c}  \\
  \vec{\gamma}_0
\end{array}
\right)
</math>

Lembrando que as componentes espaciais do quadrivetor são <math>\vec{v}\gamma</math>, e portanto

:<math>
\frac{d}{dt}\left(\frac{\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)=\vec{\gamma}_0
</math>

Lembrando que a particula se desloca na direção <math>z</math> e escolhendo a partícula em repouso em <math>t=0</math>
:<math>
v_z=\frac{\gamma_0t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
</math>

Agora é só integrar novamente, e chegamos a
:<math>
z=\sqrt{\frac{c^4}{\gamma_0^2}+c^2t^2}-\frac{c^2}{\gamma_0}
</math>

==Referências==
* Rindler, W. ''Introduction to Special Relativity'', (Oxford University Press, Oxford 1991).
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